10만명 중에 한 명 꼴로 발병하는 희귀병이 있습니다. 이 병을 99% 확률로 진단해 낼 수 있는 시약이 있습니다. 어떤 사람을 이 시약으로 검사를 했는데 이 병이 있는 것으로 나왔습니다. 이 사람이 실제 병에 걸렸을 확률은 얼마일까요?

카네만의 책 “불확실한 상황에서 판단” 이라는 책에는 이러한 유형의 확률문제가 많이 나옵니다. 그러한 확률 문제에서 인간들은 이치에 맞는 판단을 하는 것이 아니다라고 이야기를 합니다. 경제학에서 기본으로 가정하는 사람들 모두가 이치에 맞게 판단한다는 가정이 틀렸다는 것을 증명하여 노벨경제학상을 받게 되지요. 처음 이 책을 읽었을 때 재미있게 읽었습니다. 숫자를 좋아하기에 관심을 가지고 보았는데 저의 무지함을 알아차릴 수 있게 되었지요.

위 문제의 답은 1 * 0.99 / ( 99999 * 0.01 + 1 * 0.09) = 0.1% 가 안 됩니다. 만약에 여러분이라면 어떻게 하겠습니까? 실제의 수학과 달리 위의 상황에서는 걱정이 앞서는 것이 당연할 것입니다. 일단 저라면 몇군데 가서 다른 검사를 받아 보겠습니다.

중학교 2학년 아이들에게 수학을 가르치는데 마침 확률에 관한 부분을 같이 풀고 있었습니다. 그 한 아이가 이렇게 질문을 합니다. 자기 귀에 곱등이가 들어갈 확률은 얼마나 될까요? 하고 물었습니다. 아이는 제가 당황하는 모습을 보고 싶었나 봅니다. 위의 이야기가 생각나서 이야기를 해 주었습니다. 알지 못하는 것에 대하여 어떻게 추론을 해야 하는지 방법에 대하여 알려주었습니다. 그리고 그렇게 나온 답으로 어떻게 판단을 해야 하는지를 말해 주었습니다. 그런 이야기를 하다가 숫자와 실제와의 관계라는 것을 생각해 보게 되었습니다.

위의 희귀병 검사에서 보면 10만명에 한 명 꼴로 발생한다는 사실을 어떻게 알았을까 하는 의문이 떠 오릅니다. 또 99%의 확률로 진단해 낼 수 있다는 것은 어떻게 알았을까 하는 생각을 해 보았습니다. 그 두 값의 의미가 확실하지 않으면 그 뒤의 계산이 어떤 의미일까 생각해 보았습니다. 두 확률 모두 믿을 만한 것이 못된다면 그것으로부터 다른 결론을 끌어내는 것이 어떤 의미가 있을까도 생각해 보았습니다.

지난주에 확률문제를 풀고 있는데 주사위에 관한 문제였습니다. 주사위의 짝수눈이 나올 확률하는 식으로 확률문제에 주사위에 관한 문제는 자주 나옵니다. 아이가 질문을 합니다. 선생님, 주사위는 모두 정육면체인가요? 제가 아니야 다른 주사위도 있어라고 대답합니다. 그러면 왜 주사위를 던졌다고 이야기를 하는데 그게 육면체 주사위로 가정을 하고 푸나요? 라고 질문을 했습니다. 저는 참 좋은 것을 질문했다라고 답을 해 주었습니다. 그 질문의 다른 면을 볼 수 있는 능력이 참 소중한 것이라고 말해 주었습니다. 그런데 학교에 가서 선생님에게 그런 질문을 하지는 말라고 이야기를 해 주었습니다.

우리는 대부분 상대방이 하는 이야기를 자기 나름대로 해석하고 판단하기도 합니다. 그리고 대부분의 경우 문제가 발생하지 않습니다. 그것이 이해였든 오해였든 상관없이 문제가 발생하지 않는 것이지요. 다른 가능성을 생각해 보는 경우는 참 드문것 같습니다. 그래서 심각한 오해가 생기는 경우가 많은 것 같습니다. 금융업에 종사하는 분들의 언어가 이런 경우가 많습니다. 그들이 말하는 것과 소비자가 생각하는 것에는 차이가 많이 있습니다. 소비자로 잘 따져보셔야 합니다.

마지막 확률이야기를 해보려고 합니다.

블랙스완이라는 영화이야기가 아니고 블랙스완이라는 나심탈레브의 책에서 읽은 이야기입니다. 동전을 던지는 게임에 관한 이야기입니다.

99번 동전을 던졌는데 앞면이 99번 나왔습니다. 이제 100번째 동전의 앞면이 나올 확률은 얼마일까요?

이것이 수학문제라면 그래도 답은 50%입니다. 그렇지만 실제의 일이라면 어떻게 판단하는 것이 이치에 맞는 생각일까요? 저와 같이 숫자를 좋아하는 사람은 50%라고 필요 이상으로 확신을 하게 되는 경우가 많습니다.

수학 모델링과 현실의 차이점에 대하여 더 배워나가야 하겠습니다. 더불어 수학 모델링이 유효한 것과 그 한계에 대하여 더 배워야 할 것 같습니다.