니가 수학을 못하는 진짜 이유

                                                                                                  _오른쪽 수학의 비밀

임익 

1. 저자에 대하여

 저자에 대한 정보가 별로 없다. 나도 이 분을 찾아가 이야기를 들어보고 싶을 정도인데 인터넷을 통해서 알 수 있는 정보가 아주 적다. 또 이 책이 2002년에 출간됐기 때문에 10년이 지난 지금 이 분이 어디에서 활동하고 계신지도 밝혀지지 않는다. 당시 MIT 수학아카데미 원장으로 활동을 하고 계셨던 것 같은데 현재 검색 되지 않는다. 

 저자 임익은 철모르던 시절 밥먹듯이 싸움질을 하고 다녔다. 이런 저자를 추방하기 위해 동네 아주머니들이 데모까지 벌일 정도였다. 그래서 합법적으로 싸움을 하기 위해 권투 글러브를 구입했다. 정식 시합으로 위장하여 싸움을 벌였고 재미가 쏠쏠해서 원정 경기를 나가기도 했다. 그러헥 까불고 다니다가 어느 날 돌탱자 같은 녀석에게 걸려 죽도록 맞았다. 알고 보니 모 중학교의 짱이었다. 눈물을 머금고 그놈을 꺾기 위한 비법을 찾다가 태권도를 배우기 시작했다. 몇 달 후 돌려차기 한 방으로 그 돌탱자를 거꾸러뜨렸다. 

 고등학교에 올라와서 수학을 지지리도 못해 공부를 포기해야 할 지경에 이르렀다. 악이 받쳤지만 당시 저자의 능력으로는 어쩔 수 없었다. 공부도 싸움처럼 돌려차기 한 방으로 해결하는 방법이 없을까? 저자는 이런 고민을 하며 연구에 연구를 거듭하다가 우연히 우뇌를 이용하는 이미지 수학을 알게 되었다. 그러자 머리가 열리면서 한 달 만에 고교 수학을 꺾어버릴 수 있었다. 

 이 책은 저자가 어느 날 갑자기 대오 각성하여 터득한 것을 체계적으로 연구하여 어떤 머리 나쁜(?) 학생에게 전수했던 내용과 오른쪽 수학의 비밀을 담고 있다. 

 그는 2002년 당시 서울대, 서울대 대학원, 한국수학교육학회 정회원, 영국수학회 회원, 국제수학교육회의(일본 도쿄) 한국대표, MIT수학아카데미 원장, MIT교육미디어 대표, 전국수학경시대회 입상자 최다 배출하는 학력과 경력, 활동들을 하고 있었다고 한다. 

p11 수학은 이기적이고 약삭빠른 사람이 잘한다. 학교를 믿고 선생님을 믿고 교과서를 믿고 부모를 믿고 친구를 믿으면 절대 수학을 잘할 수 없다. 나를 괴롭히는 수학을 죽이기 위해 과감히 교과서를 던져야 한다. 학교도 선생님도 너무 믿으면 안 된다. 전인교육이니 참교육이니 하는 말도 잠시만 접어두자. 너무 비인간적인가? 물론 비인간적이고 야만적으로 들릴 수 있다. 그러나 수학은 인류를 위해서 하는 것도 아니고 수학자가 되려고 하는 것도 아니다. 그저 자기 혼자 대학 잘 가서 출세하려고 하는 것이다. 

 여러분이 지금 수학에서 받는 아픔과 고통은 인간성만으로 치료될 수 없다. 인간적으로 공부하면 할수록 여러분의 인생은 더 피곤해질 것이다. 누가 보상해 주지도 않는다. 여러분이 슈바이처 박사 같은 진정한 의사가 되고 싶은데 수학 때문에 발목이 잡혀서 울고 있다면, 이것이야말로 얼마나 비인간적인 일인가?

이 부분을 읽고 어떤 생각이 드는지 질문하고 싶다. 나는 이 부분을 읽으면서 책을 덮을까 생각했었다. 일단, 첫 문장은 인정하기로 했다. 그런데 바로 두번째 문장에서 ‘선생님을’ 믿으면 절대 수학을 잘할 수 없다는 말에 발끈했다. 더 나아가 ‘그저 자기 혼자 대학 잘 가서 출세하려고 하는 것이다’라고 하는 부분에서는 정말 덮어야겠다는 생각을 했다. 그런데 몇 초 지나니 도대체 저자가 왜 이렇게 이야기 하는지 궁금해졌다. 도대체 무슨 자신감으로 이렇게 이야기 할 수 있는 것일까? 그리고 이기적인 사람이 수학을 잘한다는데 도대체 저자는 얼마나 이기적이기에 수학을 잘하는지 보고 싶었다. 

chapter 1 곰탱이

p23 “어차피 두뇌는 모든 것들에 집중할 수 없다. 지루하고 무미건조한 수업은 기억에 남지 않는다.” -라우나 엘리슨

p25 워밍업 : ‘수’는 수학 그 자체다. 그러나 숫자들은 아무 맛대가리도 없는 놈들이다. 그저 지루한 계산에 나타나서 괴롭히기만 한다. 근데 이상하게도 맛없는 놈일수록 신기한 성질이 많이 숨어 있다. 정말 재미없고 딱딱하기만 한 수의 세계이지만 기묘한 성질도 있으니까 같이 한번 찾아볼까? 

p27 이상한 계산 : 초, 중학교 시절에 배우는 수학은 거의 다 계산투성이다(오죽하면 초등 수학을 ‘산수’라고 불렀을까). 계산은 사고가 별로 필요 없다. 반복에 의해 익히는 단순 기술이다. 계산은 수학의 처음과 마지막을 장식하지만 이 지루한 계산이 수학을 질리게 할 수도 있다. 계산의 역사는 수학의 역사와 비슷하다. 여러분이 일반적으로 하는 계산법은 수천 년 동안 발전하여 지금의 모습으로 정착되었다. 

곱셈 도형 : 이렇게 한자리씩 계산하여 순서대로 적고 다시 더하는 것을 20세기 가장 독창적인 수리 철학자 비트겐슈타인은 ‘곱셈 도형’이라고 명명했다. 

36*34 세로셈

p30 계산 때문에 기죽지 마라! 계산은 계산일 뿐이다. 

고등학교 때 배우는 미적분도 일종의 계산 기술이다. 계산이 수학의 전부라면 미적분을 초등학교 때 배워야 할 것이다. 초등학생도 몇 달만 교육받으면 미적분을 할 수 있다(곱셈 도형을 이용하여 27*36과 같은 계산을 하듯이). 그러나 계산 자체는 중요한 것이 아니다. 계산은 계산기나 컴퓨터가 알아서 해줄 수도 있다. 계산 이면에 숨은 원리를 생각하는 것, 이것이 바로 수학의 마음이다. 

chapter 2 나는 그동안 니가 한 짓을 알고 있다 

p34 “그럼 우선 질문 부터 하나 하지. 넌 수학을 잘하기 위해서 가장 중요한 게 뭐라고 생각하니?”

“음, 계산과 공식 암기, 그리고 많은 문제를 풀어보는 것. 히히, 너무 당연한 말인가요?”

“물론 네 말이 맞지. 그럼 넌 왜 수학을 못하니? 많이 계산해 보고 문제도 많이 풀어보면 될 텐데.” 

“글쎄, 저도 그게 이상해요. 계산을 원래 못해서, 아니 싫어해서 그런가요?”

“원래 못한다고? 그럼 계산 도사로 만들어주면 수학 잘할 자신 있니?” 

“음, 근데 솔직히 계산도 계산이지만 응용 문제가 나오면 공식 자체가 뒤죽박죽돼서 어떻게 적용시켜야 할지 모르겠어요. 또 시험 문제를 보면 분명 풀어봤던 건데도 풀이법이 생각나지 않고, 조금만 문제가 바뀌어도 헷갈리고......”

많은 학생들의 고민이다. 

“그래? 그럼 응용문제들과 예상 문제들의 풀이를 몽땅 외워버리면 간단하잖아?”

“에이, 선생님도. 한두 문제도 아니고 그 많은 문제를 어떻게 다 풀고 외워요? IQ가 1억 정도 되면 몰라도.”

“하하. 그래, 바로 그거야. 수학은 계산하고도 별 상관이 없고, 암기를 열심히 해도 별 소용이 없지.”

“그럼 수학을 잘하기 위해선 도대체 뭐가 중요한 거죠?”

“너무 충격받진 마라. 수학은 한마디로 머리가 좋아야 해.” 

“아무리 우겨도 소용없어. 머리 나쁜 놈은 절대 수학을 잘할 수 없어.”

“그럼 제가 진짜 머리가 나쁘다는 건가요? 머리 나쁘면 수학을 포기해야 돼요?”

“아니. 솔직하게 머리가 나쁘다는 것만 인정하면 돼.”

“인정하면, 그 다음은요?”

“그럼 생각해봐. 머리가 나빠서 수학을 못한다면 답이야 뻔하지. 머리를 좋게 만들면 되잖아.”

p36 “물론 IQ도 좋아질 수 있겠지만, 선생님이 말하는 것은 IQ같은 게 아니라 수학에 관련된 수학 머리를 말하는 거야. 너, 아인슈타인이 뇌의 5% 정도만 사용하고도 그렇게 천재란 말을 듣는 건 알고 있겠지? 보통 사람은 타고난 뇌의 3%도 채 사용하지 못한다고 보면 돼. 엄청난 뇌를 사용하지 않고 그냥 낭비하는 셈인데, 이렇게 사용하지 않는 머리를 계발해서 수학 머리를 만들자는 거야.” 

“쉬운 예를 하나 들어볼까? 힘이 없을 땐 영양가 있는 거 많이 먹고 헬스클럽에서 근육 키우는 운동을 꾸준히 하면 힘이 생기잖아. 수학도 비슷해. 숨겨진 수학 머리를 단련시켜 계발하면 머리도 좋아지고 수학도 잘할 수 있게 된다는 거지.” 

p37 머리를 자꾸 써서 숨겨진 뇌를 활성화시킨다는 뜻이야. 하지만 근육 개발을 위한 헬스클럽은 있어도 머리 계발을 위한 두뇌 헬스클럽은 따로 없잖아? 결국 학생들은 머리를 진짜로 굴릴 기회를 갖지 못하고 학교에서도 주입식 공부에만 길들여져 있기 때문에 숨겨진 뇌의 힘을 썩히게 되는 거야. 수학 머리라는 것은 어떤 기구가 거창한 학습법에 의존하는 건 아니고 수학 그 자체를 통해서 직접 계발할 수 있는 거지. 그걸 좀 가르쳐줄까 하는데.”

이 말에 나도 솔깃했다. 그리고 나도 학생들에게 머리 굴리는 방법을 알려주고 싶다는 생각이 들었다. 어떤 문제를 제시하면 학생들이 머리를 굴릴 수 있게 될까? 

p40 (문제 제시 후) 계산을 하려는 게 아니라 되도록 계산을 피하려고 꾀를 부리는 것, 이것이 바로 수학의 핵심이지. 그래서 수학의 시작과 끝이 바로 이 머리 굴리기라는 걸 깨달아야 해.

물론 계산을 해야 한다. 하지만 문제를 보자마자 계산부터 하려는 태도! 바로 이게 문제다. 그런 식으로 계속 공부하면 점점 머리가 나빠져 수학 둔재로 바뀐다. 거기다 주입식으로 공식을 배우고, 외우고, 기계적으로 문제를 풀고, 또 풀고....... 심지어 풀이법까지도 외우고, 예상 문제도 다 외우고....... 계속 이 짓을 반복하면 할수록 수학은 점점 더 괴물로 변해 너의 몸을 친친 감아 질식시켜 버리고 만다. 결국 돌머리에 쓰레기 같은 수학 문제를 억지로 쑤셔넣는 짓을 계속 반복해 온 셈이다. 

p42 “수학 감각이란 건 냄새를 맡거나 음식을 먹으면서 맛을 느끼는 것과 비슷한 건데, 일단 수학의 맛을 느끼고 단박에 처리할 수 잇는 ‘센스’정도라고 해두지.”

수학 머리를 만들려면 잠자는 수학 감각을 깨우는 것부터 시작해야 되는데, 이상한 사실은 재미를 못 느끼면 수학 감각이 잘 안 생긴다는 거야. 반복을 해도 억지로 하는 것에 불과하기 때문에 처음부터 재미있는 스타크와는 전혀 다르지. 하지만 스타크처럼 수학도 일단 재미와 맛을 들이면 감각이 단번에 살아나지. 

 그럼 재미가 먼저예요, 감각이 먼저예요?

서로 맞물려 있어. 수학은 이 감각이 생기지 않으면 아무리 시간을 쏟아부어도 잘할 수 없고, 잘할 수 없으니까 재미가 없어지고, 재미가 없으니까 성적이나 올리려고 억지 공부를 하게 되고, 억지 공부를 하니까 감각이 안 길러지고, 이러한 악순환을 계속하게 되는 거지. 감각에 대해서 다른 예를 하나 들어볼까? 콜라하고 소주가 있다면 넌 뭘 마시겠니? 당연히 콜라...... 아닌가? 소주인가? 하하, 피자하고 빈대떡 중에 넌 뭐가 좋아?

빈대떡은 먹어본 적이 별로 없고, 피자는 무지 좋아해요.

그렇지. 가수 중 god나 핑클이 좋아, 아니면 설운도다 현철이 조하?

물론 god죠. 

그럼 아버지는 어느 가수를 좋아하시나? 

음, 우리 아버진 현철을 좋아하시는 것 같아요. god나 핑클이 나오면 채널 돌려버려요. 

그래? 하하, 그럼 넌 트롯은 어때?

전 뽕짝은 딱 질색이에요.

좋아, 또 하나. 너, 클래식이 좋아, 가요가 좋아?

클래식은 잠 와서 싫어요.

바로 그거야. 어른들은 서태지식 음악을 느낄 만한 감각이 없기 때문에 리듬이 빠른 노래를 싫어하고, 마찬가지로 어린 학생들은 어른들이 좋아하는 것들ㅇ르 즐기지 않아. 아직 그 맛을 느낄 감각이 없기 때문이지. 지나가는 꼬마 붙잡고 생마늘에 된장을 척 발라서 깻잎에 싸서 줘봐라. 좋다고 잘 먹겠니? 

학생과 대화하는 형식에 적절한 비유를 많이 들어주니 이해하기 쉽다. 

p44 그렇지. 그런데 말처럼 수학 감각이란 게 그냥 쉽게 길러지는 건 아냐. 특히 너처럼 수학을 바퀴벌레보다 더 싫어하는 수학 혐오증 환자는 감각이 완전히 잠들어 버려서 불을 확 지르지 않으면 잘 살아나질 않아. 그래서 약간 쇼킹하지만 엽기적인 것들을 보면서 자꾸 머리를 감동시켜야 되는 거지. 쇼킹한 영화나 그림을 보면 뇌리에 팍 박히지? 바로 그거야. 근데 재미라는 놈도 저절로 생기는 건 아냐. 스타크와 달리, 수학은 처음부터 재미있거나 맛있는 것과는 거리가 멀잖아. 그래서 스스로 최면을 걸고 자극적인 문제들을 보면서 감각이 되살아나도록 유도해야해. 

심장에 전기 쇼크를 주어 죽어가는 사람 다시 살리는 거 봤지? 완전히 잠자는 감각을 확 깨워버리면 일단 호기심에 불이 붙고 조금씩 재미가 생기는데, 재미와 감각이 한번 맞물리기 시작하면 숨겨진 머리가 움직이게 되지. 이것이 수학 머리 만들기의 기본 원리라고 보면 돼. 그래서 지금부터 이 감각을 기르는 훈련을 할 거야. 수학을 맛보는 수학 미각 말이야. 

바로 신기하게 느끼는 것도 하나의 수학 미각이야. 

“세계에서 가장 훌륭한 미개척 지역은 우리의 양쪽 귀 사이에 있는 두뇌이다.” - 빌 오브리언(하노버 보험 대표)

p46 그럼 수학을 잘하려면 좌뇌와 우뇌 중에 어느 것이 중요할까?

당연히 좌뇌가 중요하지 않나요?

그래. 좌뇌가 중요하지. 근데 지금 수학 머리를 계발하자는 입장에선 좌뇌보다 우뇌가 더 중요해. 이 우뇌를 잘 이용해서 수학 감각을 키우고 수학을 보는 눈을 만들면 수학이 재미있어지고 수학 머리가 열리지. 

p50 처음엔 잘 안 되지만 계산을 하기 전에 항상 전체적인 구조를 보려는 마음을 가지면 돼. 우뇌를 이용한 감각 기르기 훈련을 하다 보면 좌뇌로 계산하듯이 습관처럼 우뇌가 자동으로 움직인단다. 

p52 중요한 건 하나하나 분석하는 게 아니고 상황을 한눈에 살핀다는 거야. 우뇌 이미지 학습에서는 일단 본다는 게 중요하고, 보면서 패턴을 알아차리는 게 핵심이야. 명심해, 눈동자가 돌면 머리가 따라 돈다. 

p53 물론 시험에는 잘 안나오니까 이상하겠지. 그러나 눈동자 돌리기를 숙달하면, 계산 실력 자체는 크게 늘지 않겠지만 단순 계산을 뛰어넘는 법을 터득하게 돼. 중요한 건 공간적인 규칙을 알아내는 새로운 눈을 가진다는 거야. 수학의 눈! 

p55 ‘마음대로 생각한다’ 

우리는 항상 단순 주입식 학습에 길들여져 새로운 걸 생각하지 못해. 이렇게 역발상을 하게 되는 순간 엄청나게 머리가 굴러가게 되어 뇌 근육이 통통해지지. 뿐만 아니라 습관을 탈출해 보는 기회가 되어 기발한 아이디어를 만들 수도 있지. 우리 인간은 논리니 수학이니 하는 따위 이전에 굉장한 직관으로 사물의 실체를 알아낼 수 있는 능력을 갖고 있어. 머릿속으로 저 우주보다 더 멋진 자신만의 우주를 창조할 수 잇는 상상력도 가지고 있고 말이야. 그런데 이런 능력을 사용할 능력을 사용할 기회를 전혀 주지 않는 지금의 수학 교과서 덕분에, 머리를 굴려 기발하게 문제를 풀 수 있는데도 학생들은 오로지 공식만 적용하여 기계적으로 풀려고 하지. 물론 수학은 다양한 공식을 외워서 적용해야 하는 것이지만, 생각의 과정 없이 단순히 암기된 공식만 적용한다면 응용력이 생기질 않아. 

p56 우리 목표가 수학 머리 만들어 수학 잘해 보자는 거니까, 지금부터하는 역발상 훈련이 수학과 별 상관 없다는 생각이 들더라도 끝까지 따라와 보거라. 더 중요한 건, 수학 성적을 떠나 이 역발상 감각이 없으면 창의적 아이디어가 절대로 생기지 않는다는 거야. 

p58 왜 1+1=2가 되는가를 질문했다가 퇴학을 당한 에디슨은 훗날 가장 위대한 발명가가 되었다. 

 에디슨이 연구실에서 실험 도중 전구의 부피를 구하려고 하다가 갑자기 바븐 일이 생겨서 그의 조수에게 전구의 부피를 알아내라고 지시하고 나갔다. 저녁에 돌아와서 보니 그의 조수가 땀을 뻘뻘 흘리면서 아직도 부피 계산을 하고 있었다. 

 아주 복잡한 적분을 하고 있는 조수를 보고 기겁을 하면서 에디슨이 이렇게 말했다. 

 “그냥 물을 채워 보면 될 것을, 쯧쯧....... 머리는 왜 달고 다니나.”

 도대체 수학이란 무엇일까? 머리를 굴린다는 것은 수학과 무엇이 다른가? 

머리 굴리는 연습을 통해 수학 머리를 버전 업 시키는 방법이 아주 매력적이다. 학생들을 가르칠 동안 이 방법을 가르쳐 줄 수 있었다면 더 좋았을텐데 하는 아쉬움이 든다. 

p63 수학자의 직업은? 

제자 중에 수학에 천재적인 재능이 있는 학생이 한 명 있었다. 장래 희망이 뭐냐고 물었더니 아직 정하지 않았지만 창의적인 일을 하는 직업을 갖고 싶다고 했다. 수학자가 되는 것이 어떻겠냐고 하니가 그 녀석이 하는 말, “수학자라는 직업도 있습니까?” 

 수학자가 수학으로 밥을 먹게 된 것은 언제부터일까? 직업으로서의 수학자는 아마 오늘날에 와서야 가능했을 것이다. 물론 옛날에도 대학교수가 되면 수학자도 직업이 되었겠지만, 지금은 대학교수가 아니라도 직업이 될 수 있다. 미국의 빌 게이츠는 프로그램 개발을 위해 수학자를 많이 초빙하고 있고, 월 스트리트에서도 1000명 이상의 수학자가 활동하고 있다. 선진국에서는 많은 연구소(수학과 직접 관계가 없어도)에서 수학자가 활발히 활동하고 있다. 다음을 보면 유명한 수학자들의 직업이 좀 뜻밖이라는 것을 알 수 있을 것이다. (백수도 있다)

수학자들의 직업 

뉴턴 : 조폐국장/ 페르마 : 행정관, 지바으이회 의원, 변호사/ 탈레스 : 상인/ 피보나치: 상인/ 카르다노 : 개업의, 의관계 학교 교사/ 네이피어: 군인 / 데카르트: 수도사/ 카바리엘: 내무부 장관, 귀족원 의회의원/ 코시: 건축사/ 불: 초등학교 보조 교원/ 라이프니츠: 변호사/ 갈루아, 아벨, 파스칼 : 백수 

chapter 3 수학, 공부함녀 할수록 머리가 나빠지는 이유

p66 지금 미국의 학생들은 대부분 수학을 싫어하고 수학 실력도 형편없는 수학 둔재들이라 생각하기 쉽다. 수학 교육 과정을 보면 미국의 수준이 한국보다 낮은 것은 분명하다. 그러나 수학에 대한 학생들의 느낌은 완전히 다르다. 한 설문조사에 따르면 수학을 어렵고 재미없다고 생각하는 학생들은 대부분 한국 학생들이고, 오히려 미국 학생들은 수학을 재미있고 유익한 과목으로 생각한다는 것이다. 

 우리나라는 수준 높은 수학을 중고등학교 과정에서 미리 배우는데, 수학에서 진짜 중요한 것은 별로 얻지 못한 채 대학에 진학하면 수학책을 던져버린다. (우리나라 수학 수준이 높다고는 하지만 미국에 비해서 높다는 것이지 사실 중국이나 일본에 비하면 별로 높지 않다. 특히 중국은 정말 수학 수준이 노다.) 

p67 미국은 예전부터 수학을 중요하게 여겼는데 최근 들어서 훨씬 더 강조하는 분위기다. 특히 1997년 당시 미국 클린턴 대통령이 연두교서에서 수학의 중요성을 역설하며 미국을 수학 강국으로 만들겠다고 강조한 바 있다. 

 미국뿐 아니라 모든 강대국들은 수학을 중요하게 생각해 왔다. 19세기 프랑스의 나폴레옹은 “수학은 국력”이라고 외칠 정도였고, 현재 중국의 장쩌민은 중학교 장학순시에서 느닷없이 오각별 문제를 풀라고 해서 온 중국이 수학 열풍에 사로잡히기도 했다. (왜 강대국들이 국가 최고 지도자까지 나서서 수학에 열광하는지 한 번쯤 생각해 봄직하다)

 그런데 지금 우리나라 상황은 어떤가? 수학 교육에 대한 열의는 대단히 높지만 학생들은 대부분 수학을 혐오한다. 왜 이런 현상이 벌어지고 있는가? 이유는 명확하다. 수학에 대한 철학이 없기 때문이다. 어느 누구도 수학을 진자 공부해야 하는 이유를 모른다. 학생도 모르고 심지어 수학 교사도 잘 모르는 것 같다. 

 그런데 문과 학생들은 골치 아픈 수학을 왜 해야 하나? 시험 과목에 있으니까 그냥 하는 거다. 이렇게 별로 고민하지 않고 시키는 대로 공부를 하면 전혀 걱정거리가 안 된다. 그런데 아무 생각 없이 이런 식으로 수학을 하는 분위기가 되면 수학을 통해 아무것도 얻지 못한다. 

 이 정도면 그래도 다행이다. 진짜 심각한 것은 이런 식으로 수학을 공부하면 머리가 나빠진다는 것이다. 

p68 수학적 힘을 기른다는 것은 이런 기능을 연마하여 과학이나 기술뿐 아니라 심지어 인문, 사회과학에까지도 깊숙하게 침투된 수학을 응용할 수 있는 기초를 다지는 것과 같다. 외국어로 치면 읽고 쓰기 위한 문법을 익히는 것이라고 보면 된다. 

 그러나 수학 공부의 진정한 가치는 자유로운 사고와 창의성의 계발이다. 그런데 수학을 통한 창의성 계발이니 하는 말은 우리나라가 펼치는 수학 교육과는 그다지 어울리지 않는다. 

 바로 이것이 문제다. 수학 공부의 진정한 가치를 실현할 수 없는 현실. 이런 현실 속에서 학생들에게 나는 무엇을 전달 할 수 있을까? 당장 현실에서 성적을 올리는 것을 포기하고 우선 창의성 계발을 하는 것이 먼저라고 용기 있게 권유할 수 있나? 진실에 진실해야 할텐데, 머뭇거리게 된다. 자유로운 사고와 창의성! 이것이 진정한 가치라는 것에 동의한다. 하지만 우리에겐 넘어야 할 벽이 많다. 그래도 변화되야 한다면 진실에 진실해야 할 것이다. 더 연구해보고 싶다. 수학 공부의 진정한 가치. 

p68 수학적 감각이나 사고력은 공식을 외워서 문제를 많이 푸는 것만으로 잘 생기지 않는다. 수학적 공식이나 결과를 찬찬히 음미하면서 그런 모양으로 탄생되는 과정을 관찰할 수 있는 눈을 만들어야 한다. 가능한 한 계산을 간단하게 하려는 자세로 머리 굴리기 연습을 통해서 진정한 수학 머리를 만든다면 사고력과 창의력, 나아가 인생의 지혜까지도 수학 속에서 얻을 수 있을 것이다. 그렇지 않고 단순하게만 수학을 공부하면 머리를 계발할 수 있는 기회를 잃어버리게 된다는 것을 깨달아야 한다. 

p70 다시 수학 얘기를 하자면, 도형(기학학) 부분은 정말 논리 그 자체다. 꼼꼼하게 논리적으로 따지면서 증명을 하고 그런 과정 속에서 수학의 맛을 알 수 있다. 그런데 이상한 것은 바둑처럼 도형도 실전에서 보조선을 만들거나 기발한 아이디어를 떠올리는 것은 전혀 논리적이지 않다. 그냥 뭔가가 갑자기 떠오른다. 어떤 논리 과정을 거쳐 그런 보조선의 아이디어가 탄생되는지 알 수 없다. 정말 감각적이다. 도형뿐 아니라 수학의 다른 부분도 상당히 우발적이다. 

이 부분에 상당히 공감한다. 특히 중학교 2학년 교과서에는 도형 부분이 모두 증명을 하게 되어 있다. 학생들에게 어떤 명제를 증명하는 방법을 알려 줄때 특히 나는 보조선을 강조한다. 우리가 보조선을 그리면 증명의 실마리를 풀 수 있다. 그런데 학생들에게 주어지는 과제에 보조선을 몇 번 그려보면 요령이 생긴다. 몇 번 그려보는 것이 중요하다. 그래서 나는 증명을 가르칠 때 ‘보조선’을 강조한다. 보조선 없이 그냥 무작정 증명하려 들거나, 문제를 풀려고 하면 금방 좌절하게 된다. 일단 생각해야 한다. 어떻게 하면 문제의 실마리를 찾을 수 있을까 하고 생각해야 한다. 그런 후 요리조리 보조선을 그려보고, 해보면 실마리를 발견하는 순간을 만난다. 그 순간을 자주 만나게 되면 수학이 좋아지고, 자신감도 생기고 수학 감각도 좋아진다. 

p70 논리는 우발적으로 알아낸 사실을 사람들에게 설득시키기 위한 과정에 불과하다. 

 수학자는 정교한 논리를 펴는 사람들이지만 논리적이기 때문에 수학자가 된 것은 아니다. 오히려 시인이나 작곡가 같은 예술가에 가깝다. 

p71 우리나라 수학 교육은 그냥 서양의 수학을 베낀 정도에 크게 발전한 것이 없다. 지금은 일본식 수학에서 미국식 수학으로 넘어가는 과도기이다. 충분히 우리나라 상황에 맞게 개발할 수 있지만 아무도 나서지 않는다. 

 어차피 이런 상황이라면 우리는 이것을 역이용하면 되는 것이다. 어떻게? 논리니 뭐니 생각하지 말고 감각적으로 도형이나 방정식 공부를 해보자. 수학 문제는 증명이 중요하지만 아주 논리적으로 증명할 필요는 없다. 감각적으로 느껴버리면 그만이다. 논리는 그 이후의 문제다. 감각이 아직 없다면 감각을 키우면 된다. 그래야 신나게 공부할 수 있고 수학도 정복할 수 있다.

 세상을 움직이는 힘은 논리가 아니고 영감이다. 영감은 갑자기 머리에 번쩍 하고 떠올라 세상에 나타난다. 이 영감이라는 것이 특별한 건 아니다. 누구나 세상을 움직일 수 있는 영감을 가지고 있으면 이것이 바로 ‘창의성’으로 나타난다. 수학을 통해서 논리적인 인간이 되려고 하는 것은 바둑 이나 장기를 통해서 논리적 사고를 얻으려고 하는 것처럼 우스운 발상이다. 

수학은 영감에서 시작해서 논리로 끝난다. 수학을 통해 논리적인 인간이 되려고 하지마라. 수학 공부의 진정한 가치는 바로 자유로운 사고와 창의성에 있다. 영감으로 문제를 해결하고 누군가 질문하면 논리적으로 설명해준다. 이미 영감은 우리에게 논리를 선물했으니 말이다. 아! 아! 아! 내 제자들에게 이 말을 해주지 못한 것이 안타깝다. 애들아, 수학을 통해 논리성을 계발하려 하지말고 우리 도형에서 배운 것 처럼 일단 '보조선'을 어디에 그릴지 머리를 굴려봐. 보조선을 찾으면 게임 셋인거 기억하지? 증명을 하기 전에 가장 먼저 해야 할 것은 바로 보조선을 그려넣는 것이다. 

p71 이제부터 수학에서 ‘창의성’과 ‘지혜’를 얻어보자! 

p75 몇 년 후 미국 MIT의 스펠케 박사 팀이 발표한 <숫자 처리의 두 가지 형식에 관한 연구> 자료를 보고 나는 깜짝 놀랐다. 숫자를 인식하고 처리할 때 언어를 처리하듯이 기호로 인식하여 논리적으로 처리하는 모드와, 기호를 그림으로 처리하는 영상 모드가 함께 있다는 것을 과학적으로 증명한 것이었다. 이것은 내가 체험했던 ‘이미지 수학’ 바로 그것이었다. 

아인슈타인은 학창 시절에 우뇌를 이용한 상상 게임을 즐겼고, 여기에서 그는 과학적 통찰력을 얻게 되었다. 믿기지 않겠지만 그는 언어와 논리에서는 부진아였고 바이올린 연주, 그림 그리기, 배 타고 놀기, 상상 게임을 다른 어떤 것보다 잘했다. 

 “논리나 분석은 별로 중요하지 않았습니다. 나의 아이디어를 이끌어내는 데 실질적으로 도움을 준 것은 희미하지만 ‘이미지’였습니다.” - 아인슈타인

p79 수영이나 노래뿐 아니라 인간에게는 어떤 다른 신의 피조물보다 숨겨진 능력이 많다. 정말 놀랄 만큼 많다. 특히 인간의 뇌는 더더욱 그렇다. 상상을 초월하는 우리 뇌의 능력을 과학적으로 조금씩 입증되고 있다. 직접 체험하지 못한 경우에는 쉽게 받아들이기 힘들 수도 있겠지만, 우리의 두뇌에는 분명 신비한 능력이 숨어 있다. 그러나 이를 누가 가르쳐주지 않는다면 애석하게도 모르고 살아갈 수도 있다. 자유형이나 성악의 발성법이 그랬던 것처럼. 

p94 수학 공부 어떻게? ET와 IT!

수학 공부는 엉덩이와 손이 필요하다는 말처럼 머리로 이해한다는 것만으로는 끝이 나지 않는다. 많은 문제를 반복해서 풀어보면서 완전히 손에 익숙해져야 수학의 힘이 생긴다. 

ET(Extensive Training) 방식 : 매일 조금씩 손으로 직접 문제를 풀면서 꾸준히 수학 공부를 하는 방법. 매일 조금씩 반복해서 꾸준히 공부하면 ‘가랑비에 옷 젖듯이’ 실력이 늘어간다. 

IT(Intensive Training)방식 : 근육을 발달시키려면 반드시 근육통을 앓아야 하는 것처럼 두뇌도 약간의 고통이 필요하다. 고통은 세포 변화의 신호라고 생각하면 되는데 두뇌를 집중함으로써 고통을 만들 수가 있다. 이런 집중의 상태로 장시간(6시간 이상) 공부하는 방식. 몇 시간 동안 집중적으로 공부하면 매일 조금씩 공부하는 것보다 두뇌 활성화가 더 잘 일어난다. ET와 다르게, IT방식으로 공부할 때 문제를 많이 푸는 것은 중요하지 않다. 

 한 문제를 풀더라도 충분히 생각하고 음미해야 한다. 몇 시간 동안 두뇌를 혹사시키면 고통과 쾌감이 반복해서 나타나다가 갑자기 머리가 열린다. (이때 몰랐던 개념이나 원리를 깨닫게 된다.) 

chapter 4  이미지 게임

p99 도형의 정복은 보조선의 정복과 같아. 결국 보조선 만드는 원리를 터득하지 못하면 절대로 도형을 죽일 수 없지. 또 아무것도 없는 허공에 보조선을 만든다는 건 무한한 상상력을 키우는 것과 직결된다는 것도 명심해 두고. 

p102 근데, 선생님 말씀은 대충 알겠는데 교과서에 나오는 도형 문제에는 어떻게 적용하죠? 

좋은 지적이야. 교과서 문제를 푸는 건 조금 전에 말한 보조선 만들기와는 약간 다르지. 도형의 기본 성질을 배우면 자연스럽게 알게 될거야. 보조선의 기본 원리를 미리 말해 주면 평행하게 긋는 거야. 평행! 

평행요? 그렇게 간단해요? 그럼 평행사면형만 공부하면 되겠네요? 

하하 역시 대단한데? 바로 그거지. 중 1, 2 학년 내용을 요약한 걸 몇 가지 줄테니 눈으로 쭉 훑어보고 예제나 몇 개 읽어봐라. 풀지 말고 그냥 읽기만 해. 절대로 원리니 개념이니 하는 따위는 생각도 하지말고. 그런 건 학생들을 괴롭히기 위한 술책일 뿐이야. 몇 가지 원리와 결과만 눈에 익숙해지면 시작할 수 있으니까 처음부터 증명 과정에 너무 매달리지 마라. 

p113 근데 선생님과 같이 하면 신나고 잘되는데 혼자선 왜 그렇게 안 될까요? 또 집중 좀 하려고 하면 너무 머리가 아프고 정말 미치겠어요. 이건 핑계가 아니에요. 

 그건 평소에 운동을 안 하다가 갑자기 시작하면 알통이 배어서 아픈 것과 마찬가지야. 뇌가 굳은 상태에서 갑자기 유연성 훈련을 하니까 더더욱 그렇지. 그러니까 머리가 아플수록 점점 뇌신경이 발달하고 있다고 생각하면 돼. 이 고비를 넘기면 다시 자연스럽게 시원한 머리 상태로 회복될 테니까 너무 걱정하지 말구. 고통 뒤에 영광이 오는 법이지. 

p118 다양한 도형의 정리나 성질은 몇몇 돌연변이 천재 수학자들에 의해 이루어진 것으로 우리에겐 그 아이디어가 쉽게 떠오르지 않는다. 대부분 학생들은 회전이나 보조선의 기법을 터득하지 않고 도형 문제를 반복해서 풀게 된다. 그러다 보면 방정식 계산을 할 때처럼 머리가 기계적으로 굴러가게 되어 두뇌 계발에 도움이 되지 않는다. 

 결국 도형 문제는 2500년 전에 죽은 귀신이 부활하여 산 학생들을 단순히 괴롭히고 있는 고약한 것에 불과하고, 문제를 위한 문제 이상의 의미를 가지지 못한다. 유클리드의 <기하학 원론>은 유럽에서는 베스트셀러로 논리 학습의 대명사가 되었지만 우리나라에서는 학생들에게 별 도움을 주지 못하고 있다. 중학교 3년 동안 가을마다 나타나서 학생들을 괴롭히고는 고등학교로 올라가면 흔적도 없이 사라졌다가 다시 대학입시 때 유령처럼 나타나는 괴로운 존재일 뿐이다. 

 이 유령은 가벼이 여기면 대학입시 때 낭패를 보기 십상이다. 그러므로 눈앞의 시험에 급급해 교과서에 따라 단순히 증명과 정리들을 외우고 문제만 풀 것이 아니라, 도형을 전체적으로 통일성 있게 볼 수 있는 눈을 만들어야 한다. 

p126 국제수학교육회의에서 있었던 일. 

UC샌디에이고의 위상 수학 전공인 B교수는 나의 이론에 많은 관심을 보이며 이런 말을 했다. 

“계산을 잘하지 못해도 충분히 수학을 잘할 수 있다고 생각합니다. 나는 위상 수학을 전공하는데, 그 악랄한 논리 체계 속에서도 이미지를 가지고 창조적 발견을 하고 논리 자체도 전개할 수 있습니다. 반드시 다 그런 건 아니겠지만 이미지 수학을 충분히 가능하죠.” 

p130 프랑스의 위대한 수학자 푸앵카레는 학창 시절 손으로 하는 모든 분야에 완전 젬병이었다. 만들기, 그리기는 모조리 빵점이었고, 손으로 하는 계산도 실수투성이었다. 당연히 계산 문제에서 좋은 성적을 내지 못했던 그가 프랑스의 명문대학 에콜 폴리테크니크에 입학 시험을 보았는데 구술 면접 시험에서 불합격되었다. 그러나 어떻게 된 영문인지 합격 통지서가 날아왔다. (아마도 갈루아 때문인 것 같다. 프랑스 역사상 가장 뛰어난 천재 수학자인 갈루아가 이 학교에 두 번이나 응시했으나 모두 불합격 되었는데, 갈루아가 21세의 나이로 죽은 후 그의 천재성이 밝혀지자 이때 시험 담당관이 모두 징계당하였다. 두 번 다시 이런 실수를 하지 않기 위해서 학교 당국은 푸앵카레를 합격시킨 것 같다.) 

 푸앵카레는 대학을 졸업하고 ‘위상 수학’이라는 계산 없는 수학을 집중적으로 연구하여 크게 발전시켰는데, 계산을 싫어했던 푸앵카레가 위상 수학을 좋아한 것은 어찌 보면 당연한 일이었다. 푸앵카레는 계산 이전에 전체적인 눈으로 숨은 질서를 보고자 하는 마음을 중요하게 생각했던 것이다. 위상 수학은 기하학의 일종으로서 현대 수학의 모든 부분에서 기초가 되고 있으며 이론 물리학에서도 큰 힘을 발휘하고 있는데, 일단 독자 여러분은 위상 수학을 계산 없는 수학 정도로 생각하라. 

아, 내 발목을 잡았던 ‘위상수학’. 대학에서 배우는 전공 수학이 여러가지 있지만 임용고사 범위에 포함되는 것 중 큰 줄기 3가지가 있다. 해석학, 현대대수학, 위상수학. 쉽게 설명하자면 해석학은 함수, 현대대수학은 방정식, 위상수학은 뭔지 모르겠는 것이었다. 그런데 이 책을 읽으니 다시 공부해보고 싶다는 생각이 든다. 

p133 지우지 않고 볼펜으로 수학 문제를 푸는 것과 수학 실력은 직접적인 관계가 별로 없는 것처럼 보일지도 모르지만, 거기에는 우리가 미처 깨닫지 못하고 있는 우뇌 발달의 비밀이 숨어 있는 것이다. 

p134 수학을 싫어하는 학생들에게는 한 가지 재미있는 공통점이 있다. 수학 문제를 풀 때 자기가 푸는 걸 다른 사람이 옆에서 보는 것을 매우 싫어하거나 조금이라도 틀렸다 싶으면 그걸 어떻게든 감추려고 한다는 것이다. 물론 이때 지우개가 일등 공신이 된다. 

 수학은 지우면 그 이미지도 지워지고 만다. 우뇌가 활동할 수 있는 마지막 기회마저 빼앗아가는 것이다. 수학은 관찰하면서 사색해야 한다. 자기의 실수를 찬찬히 눈으로 감상하고 반성하면서 다음 수식 전개에 참고해야 하고, 철저히 시행착오를 거치면서 수학의 눈을 얻어야 한다. 종이를 아까워하면 안 된다. 지우면 아까운 시간이 낭비될 뿐 아니라 손의 자유를 억제하여 결국 우리의 뇌까지도 움추러들게 한다. 

p135 물론 지우지 않는다고 바로 실력이 느는 건 아니다. 그러나 실수를 전혀 의식하지 않게 되기 때문에 자유롭게 상상하면서 낙서하듯이 수학을 즐길 수 있다. 

p136 우리가 매일 먹는 물은 무엇으로 이루어져 있니? 

수소와 산소

그래 맞아. 그럼 수소와 산소로 만들어졌다는 걸 어떻게 알지?

글쎄요, 실험을 해보면 안 되나요?

물론 실험해 보면 되지. 그게 바로 그 유명한 전기분해인데

네. 저도 알아요. 전기분해

그래 한 번쯤은 들어보았을 거야. 물을 전기분해하면 수소와 산소가 나오지. 어떤 물질을 분해해 보면 그 구성 성분을 알 수 있잖아. 라디오나 시계처럼 말야. 역으로 생각하면 산소와 수소가 만나서 물이되고, 탄소와 수소가 만나서 가스가 되고...... 이런 방식으로 원자들이 만나서 결합을 하면 새로운 분자가 만들어지지. 

물론 그렇겠죠. 

그럼 2곱하기 3은 얼마니?

당연히 6이죠. 

그렇지. 그럼 6은 2와 3으로 만들어졌다고 볼 수 있는데, 물은 전기분해하듯이 숫자를 분해해서 구성 성분을 알아내는 게 바로 인수분해의 본질이라고 보면 돼. 3과 7을 곱하면 21이 되는데, 이때의 곱하기를 ‘박치기’라고 생각해 봐. 어떤 수들이 박치기하면 전혀 새로운 다른 놈이 탄생하잖아? 

그거야 그렇지만. 

식을 예로 들어보자. X박치기 X+1은 X(X+1)이 되는데 이것은 X^2+X의 모양으로 살아가지. 그러니까 어떤 수나 식의 형태를 인수분해하려면 반드시 박치기 순간의 모양으로 바꾸어야 하는데, 숫자는 그것이 쉬워도 식들은 난잡하게 배열되어서 잘 안돼. 그래서 인수분해는 몇 가지 공식을 미리 외워서 사용해야 되는 거야. 구구단을 외우듯이 말야. 그런데 인수분해는 방정식과 함수를 공부하기 위해서는 필수적이지만 ‘인수분해를 위한 인수분해’는 지금 단계에선 공부할 필요가 없어. 잘못하면 또다시 그 무서운 수학 계산의 덫에 걸리게 돼. 수학 머리가 만들어지면 저절로 터득되니까 지금은 전체적인 방향 감각만 키우면 된다. 그래서 인수분해 필수 공식 몇 개만 눈 닥 감고 외우라는 거야. 어때, 간단하지? 

p138 물론 그렇지. 적어도 앞으로 네가 공부할 수학들은 방정식에서 시작해서 방정식으로 끝난다고 해도 과언이 아냐. 그런데 인수분해 방정식을 죽어라 공부해도 머리가 좋아지기는커녕 오히려 머리가 마비되지. 수학 공포증과 수학 알레르기의 합병증까지 생겨서 급기야 방정식이란 말만 들어도 온몸에 소름이 돋을 정도. 그래서 방정식 문제 자체를 통해서 머리 훈련을 할 수 있고, 이걸 바탕으로 쉽고 재미있게 할 수 있는 신기하고 절묘한 수학 신법을 공부하자는 거야. 그동안 갈고 닦은 우뇌를 맘껏 사용해 보자구. 

수학 신법은 함수와 방정식을 함께 엮어서 이미지와 수식을 결합시키는 기술인데, 함수의 그래프 그리는 것부터 시작하자. 나중에 함수 그래프 기법을 알고 나면 감자기 방정식 문제들이 쉬워지는 걸 느낄 거야. 

p147 먼저 좀 어렵지만 터득만 하면 강력한 힘이 생기는 함수의 그래프부터 정복하자구나. 일단 함수 자체에 대해서 너무 연연하지 말고...... 특히 대응이나 집합 따위의 정의는 너무 따지지 마라. 이것도 나중에 그냥 알게 돼. 왜냐하면 원래 함수란 개념 자체가 너무나 당연한 것이기 때문에 어려운 추상을 맛볼 수 있는 감각만 생기면 그냥 척~ 하고 정복되지. 1+1=2가 당연하듯이 감각이 생기면 그냥 느낌으로 참과 거짓을 알 수 있어. 나중에 그걸 못 느끼는 사람들을 위해 다시 논리적으로 설명만 해주면 돼. 이제부터 우리는 이미지를 이용해 힘 안 들이고 쉽게 접근할 거야. 계산을 한다거나 논리적으로 접근하지 않고 먼저 그래프를 그림으로 그려보면서 완전히 몸으로 익히는 과정이지. 

p149 겜, 중요한 건 말야. 함수식만 보고 지레 겁먹지 말고 그냥 대충 그려본다는 거야. 수식들은 그래프를 그려주는 기호라고 생각해. 악보보고 피아노 치듯이 그렇게 그려내면 돼. 완전히 손에 익어서 함수 관계식만 보고도 그림이 척~ 하고 떠오르면 그때 게임 끝이지. 극장에서 영화가 상영되듯이 머릿속에서 쫙 펼쳐지게 해라. 자나 깨나 앉으나 서나 밥 먹을 때나 화장실 갈 때나 항상 머릿속으로 그림만 생각하란 거지. 그렇게 자유자재로 그래프를 그릴 수 있으면 신법의 절반은 완수했다고 보면 돼. 자면서도 함수 그림이 꿈에 나타나고 꿈속에서도 문제를 푸는 믿지 못할 일들도 경험하게 될 거야. 만약 꿈에 나타나면 초절정 고수 단계에 도달한 거지만, 그냥 눈앞에 어른거리기만 해도 대성공이다. 

p150 실제로 대부분의 학생이 수학에 대해 가지고 있는 문제는 앞부분을 못해서 뒷부분이 안 된다거나 하는 식의 문제가 아니다. 수학을 어렵게 느끼는 것은 수학을 보는 전체적인 눈이 없거나 머리 굴리기 연습의 부족 때문에 그런 것이다. 머리 굴리는 훈련이 안 된 상태에서 계속 전진만 하다 보니 여러 단원이 얽힌 복합 응용 문제에서 항복할 수밖에 없다. 결국 성적이 조금 오르다가 어느 순간 멈추게 되고, 더 이상 발전이 없기 때문에 학생들은 좌절하기 시작하고, 기초가 부족하다고 생각하기 때문에 또다시 별로 쓸모없는 부분부터 반복하기 시작한다. 

 수학이 계단식이라는 것은 학문 체계를 말하는 것이지 결코 학습의 방법을 말하는 것은 아니다. 

p151 중요한 것은, 우리의 머리를 어디에 집중시키고 어느 부분을 터득할 것인가를 먼저 알아야 한다는 것이다. 수학은 그 원리를 하나만 알아도 나머지 열을 터득할 수 있다. 

p151 수학도 마찬가지다. 모두 다 잡으려고 순서대로 격파해선 안 된다. 한 부분만 골라서 완전히 터득해야 한다. 수학적 머리가 생길 때까지! 

p153 중 고등학교 수학 교과서는 여러 가지 분야를 다양하게 소개하고 있는데, 방정식과 함수 이외의 분야는 그냥 단순히 익숙해지면 별 어려움 없이 정복할 수 있다. 하지만 방정식과 함수 부분은 개념을 그 자체로 이해하기가 쉽지 않고 반복 훈련을 많이 해서 익숙해져야만 자연스럽게 문제를 풀 수 있다. 그런데 이 두 부분은 사실 동전의 양면처럼 항상 붙어다님에도 불구하고 대다수의 학생들은 방정식과 함수를 따로따로 공부한다. 그래서 감각 없는 학생들은 함수와 방정식의 상호 관계를 잘 이해하지 못하고 그저 어렵게 생각하는 것이다. 사실 대부분의 방정식은 함수 그래프 이미지의 도움을 받으면 쉽게 접근할 수 있고, 계산의 속도도 빨라진다. 그래프의 정복은 방정식과 함수의 정복이고, 이것은 또한 수학의 정복과도 같은 것이다. 

p154 함수 그림(그래프)을 충분히 익히고 나면 방정식을 풀기 전에 미리 결과를 대충 짐작할 수 있다. 방정식을 풀 때 함수 그래프를 이용하면 자연스럽게 문제 속에서 직접 머리 훈련을 할 수 있게 될뿐더러 수학이 굉장히 쉬워진다. 

그래서 좌뇌의 계발은 필수적이지만, 무작정 좌뇌만 작동시켜 버리면 엄청난 힘을 발휘할 원초적 두뇌인 우뇌를 죽여 버리는 결과를 가져오게 된다. 

chapter 5 고수 

p169 성적 죽이기 첫단계부터 시작하자. 이건 이름하여 ‘타이밍 모의 테스트’라 부르는 건데, 정답의 개수뿐 아니라 걸린 시간도 체크하는 거다. 먼저 시험 범위 내에서 몇 가지 문제집을 펼쳐 놓고 다섯 문제씩 무작위로 뽑아라. 그런 다음 10회 정도의 분량으로 만들고 20분씩 시간을 정확히 재어 빨리 푸는 연습을 해라. 학교 시험은 스피드와 정확성을 동시에 요구하기 때문에 50분밖에 안 되는 짧은 시간 안에 몇 단원의 문제를 풀려면 생각하고 어쩌고 할 시간이 없지. 문제를 보자마자 완전히 익숙해진 상태에서 빨리 계산해 나가야 한다. 그래서 타이밍 모의 테스트에서 충분히 연습을 해둬야 해. 이때 문제를 정확히 푸는 것보다 시간을 더 중요하게 생각해야 하는데, 답이 틀려도 좋으니 무조건 빨리 풀고 점수와 시간을 기록해 봐. 

p170 평소엔 머리와 수학의 톱니바퀴를 이용해서 충분히 연마해 두고, 시험이 다가오면 그렇게 반복적 타이밍 훈련을 해보라는 거야. 특히 너처럼 성적이 안 나와 죽을상인 녀석들은 자신감이 꺾일 수 있으니 요령을 피워보란 거지. 하나의 수단이라 생각해. 나중에 진짜 머리를 이용한 수학 신법을 완전히 터득해 고수가 되면 이런 훈련을 따로 안 해도 척척 풀 수 있어. 학교 시험 따위는 한 방에 날릴 수 있느 ㄴ거지. 

자 다음은 성적 죽이기 두번째 단계다. 충분히 타이밍 훈련이 되었다면 시험 치기 하루나 이틀 전에 눈을 감고 공부한 내용을 머릿속으로 하나씩 떠올려봐. 쉽진 않겠지만 생각이 잘 안 나면 책을 뒤적여 확인한 후 다시 떠올리는 걸 계속 반복해서 공부한 내용을 머리로 정리해. 머리로 정리한다고 해서 거창하게 생각하진 말고, 그냥 어떤 문제가 어디에 있다는 정도를 파악하면 되는 거지. 

p171 마지막으로 당부하고 싶은 게 있어. 시험이라는 건 하나의 척도에 불과하니까 내가 말하는 걸 하나의 수단 이상으로 받아들이진 마라. 우리 목표는 수학 그 자체를 이용해서 수학 머리를 만들려고 하는 거니까 말야. 

p176 어떤 내용도 영화처럼 이야기를 엮어내는 거지. 좀더 자세하게 암기 과정을 살펴보자. 갑자기 하늘에서 뚝 떨어진 피타고라스 정리를 보면, 그 증명을 이해하고 스스로 다시 증명하려면 순전히 암기된 내용을 되새김질해야 하는데, 이걸 ‘강제 암기’ 혹은 ‘단순 암기’라고 해. 암기의 가장 원시적인 형태인 거지. 

강제 암기 회로를 작동시키는 건 컴퓨터에서 폴더 하나 만드는 것과 비슷한 거야. 그런데 계속 폴더들만 만들고 서로 연결시켜 주지 않으면 폴더만 무성한 쓰레기 더미 컴퓨터가 되잖아? 이렇듯 새로운 사실이 나타날 때마다 강제 암기를 하면 뇌 용랴잉 초과되어 슈퍼울트라 컴퓨터인 우리 뇌를 잘 이용하지 못하게 된단다. 또 강제 암기는 막대한 에너지가 필요한데, 이 에너지가 고갈되면 인체의 자동 방어 시스템이 작동하여 짜증이라는 형태로 나타나지. 그래서 암기를 본능적으로 싫어하게 되는 거야. 이건 일종의 생존 본능인데, 에너지를 아끼려는 거지. 

p176~177 근의 공식처럼 어쩔 수 없이 단순 암기를 해야 되는 경우도 있지만 대개의 경우 잘 찾아보면 실마리를 얻을 수 있어. 연상이니 이미지니 하는 말에는 너무 연연하지 마라. 예를 들면, 수학 증명이나 풀이 자체를 외우고 익힐 땐 단순 암기로는 외우기가 힘들 뿐더러 설사 암기가 대충 되더라도 체계적이지 못해. 그래서 암기를 쉽게 하면서 머릿속에 박힌 내용을 잘 끄집어내기 위한 요령으로 우뇌를 이용한 상호 연결을 모색하는거지. 우뇌를 이용하면 에너지를 많이 쓰지 않아도 되니까 짜증이 별로 나지 않고 자동으로 폴더 간의 연결 고리를 생성시켜 주거든. 피타고라스 정리의 증명 과정을 암기한 후 회전의 염력을 되새기면 이미지로 쉽게 남고 다른 기억과도 연결돼. 그래서 다른 증명에도 쉽게 이용할 수 있지. 결국 저장한 걸 쉽게 뽑아 올릴 수 있다는 거야. 이렇게 되면 자연스럽게 암기가 되고 암기 자체도 즐거워진단다. 

p179 흥하는 수학 공부

답지를 볼 때는 보아야 한다. 특히 자기가 푼 것과 답지의 풀이를 비교하는 자세를 기르자. (수학의 기본이 전혀 안 되어 잇는 학생은 바로 답지를 보라.) 

문제를 쉬운 것부터 풀다 보면 모르는 개념이나 원리가 이해된다. 

문제집은 한두 권이면 충분하다. 

실수를 두려워하지 말고 간단한 것은 암산으로 처리한다. 자주 암산을 하다 보면 머리가 좋아진다. 

p180 문제집이나 참고서를 그냥 풀거나 외우기만 하지 말고 스스로 창조를 해봐라. 창조를 하는 동안 두뇌가 가장 많이 작동하게 되는데, 실질적으로 학창 시절엔 창조 훈련을 할 기회가 거의 없을 거야. 그러나 유일하게 수학에선 가능하지. 

문제를 다 풀지 못해도 가능하지. 문제 만드는 것은 어떻게 보면 엄청 어려워 보이지만 포기하지 않고 차근차근 훈련하면 요령이 생기지. 항상 강조하지만, 모든 일에는 요령이 있어. 

창조 요령 첫 단계다. 우선 자기가 이미 풀어본 문제들을 잘 살핀 후 조금씩 숫자나 식을 바꾸면서 문제를 다시 구성해 봐. 이게 창조의 시작인데, 모방에 가깝지. 모방은 언뜻 보면 시시한거지만 이 단순한 모방이 결국 큰일을 내지. 두 번째 단계는 여러 가지 공식이나 법칙을 결합하여 한 문제 속에 집어 넣는 단계다. 예를 들면, 중2와 중3 내용을 결합시키는 것으로 피타고라스 정리, 닮음과 원의 성질을 동시에 집어넣어서 문제를 만들 수 있지. 그리고 마지막 단계는 실생활의 응용인데, 무궁무진하게 문제를 만들 수 있어. 선생님이 평소에 너한테 준 생활 응용 문제도 그렇게 만든 거지. 

p185 이제 여러분은 알 것이다. 수학은 절대로 죽지 않는다는 것을. 수학은 죽여야 할 상대나 끔찍한 괴물이 아니고, 재미있고 신기한 친구이며 두뇌를 계발하게 해주는 고마운 존재라는 것도. 

p186 수학만 잘한다고 대학에 갈 순 없다. 사실 수학을 못한다고 머리가 나쁜 것도 아니고 명문대에 못 가는 것도 아니다. 그런데 수학 잘하는 학생은 분명히 머리가 좋다. 이런 학생들은 굉장히 이기적이고 약삭빠르기 때문에 다른 공부도 잘하는 것이다. 아무쪼록 여러분 모두 수학의 새로운 눈을 가지고 ‘이기적’으로 공부하길 빈다. 자세한 이미지 수학의 기법과 세부적인 내용들은 양이 방대하여 이 책에 담지 못한 것이 아쉽지만 다음에 다시 이야기하기로 하고 이 책을 마칠까 한다. 

“수학을 죽여라. 그러나 수학은 죽지 않는다. 죽이면 죽일수록 끊임없이 다시 살아난다. 여러분의 싱싱한 두뇌처럼”