비에트가 들려주는 식의 계산 이야기

나소연 지음

1. 저자에 대하여

 2002년 동국대학교 수학교육과를 졸업하고 2006년 이화여자대학교 교육대학원 수학교육과를 전공(이학 석사)하였다. 저서로는 <<탈레스가 들려주는 닮음 이야기>>가 있다. 

2. 내 마음을 무찔러드는 글귀 

추천사 

뉴턴은 ‘만약 내가 멀리 볼 수 있었다면 거인의 어깨 위에 앉았기 때문이다’라고 했습니다. 과거의 위대한 사람들의 업적을 바탕으로 자기 앞에 놓인 문제를 보다 획기적이고 효율적으로 해결할 수 있었다는 말입니다. 학생들이 <수학자가 들려주는 수학 이야기>를 읽으면서 위대한 수학자들의 어깨 위에서 보다 멀리, 보다 넓게 수학의 세계를 바라보는 기회를 갖기 바랍니다. - 홍익대학교 수학교육과 교수/ 박경미

책머리에

작은 시계 바늘이 7을 가리키고 큰 시계 바늘이 12를 가리키면 ‘지금 시간이 7시구나’라는 생각을 하게 됩니다. 숫자를 보고 시간을 알 수 있는 것처럼 우리 주위에는 의미를 가지고 있는 것들이 많이 있습니다. 내 동생이 타고 다니는 것과 같은 노란색 차를 보며 ‘유치원을 다니는 어린 동생들이 타고 있겠구나’하는 생각을 하게 되고, 놀이 공원을 돌아다니다가 화장실 그림을 보고 화장실을 찾아갈 수도 있습니다. 시계를 보는 방법이나 화장실 표시는 우리가 억지로 기억하려고 하지 않아도 어느 순간 내 머릿속에서 그 자리를 차지하게 됩니다. 

 수학에서 쓰는 여러 가지 기호나 식도 우리의 일상생활과 똑같이 그 의미를 기억하고 익숙해질 수 있는 것입니다. 처음에는 15 더하기 7을 나타내는 식 ’15+7’에서 더하기 기호 ‘+’가 무엇인지 모르고 어떻게 계산하는 것인지 낑낑거렸습니다. 하지만 이제는 익숙해져서 ‘22입니다’라고 자신 있게 답을 말할 수 있습니다. 문자를 사용하여 나타내는 식이 처음에는 낯설고 어색할 것입니다. 그러나 이 책을 읽다 보면 시계를 보는 방법을 알고 시계를 보고 시간을 알 수 있게 되듯이 식을 보면 무엇이 더해지고 곱해졌는지 그리고 똑같은 것을 몇 번 곱한 것인지 알 수 있게 됩니다. 

 시계를 보는 방법과 같이 수학에도 식을 나타내는 방법이 있습니다. 한 가지 방법은 우리가 선생님을 줄여서 간단하게 ‘샘’이라고 하는 것처럼 간단하게 나타내는 방법입니다. ‘어떤 수를 10번 곱한 것에 2를 곱한 것과 어떤 수를 5번 곱한 것에 3을 곱한 수를 더하자’라는 말은 읽기에도 많은 시간이 걸리고 다른 사람에게 글로 써 주기에도 계산을 하는 방법을 이해하기에도 너무 오래 걸리기 때문에 숫자와 곱하기, 더하기 기호를 사용하여 간단하게 나타냅니다. 

p19 비에트를 소개합니다

나는 1540년 프랑스에서 태어난 비에트입니다. 라틴어 이름인 프란치스코 비에타를 필명으로 많은 책들을 출간해서 비에타라고 하기도 하지요. 난 직업이 많아요. 법률가, 판사, 암호 해독가 그리고 가정교사라는 직업을 가지고 있습니다. 나의 첫 직업은 아버지의 뒤를 이어 하게 된 변호사 입니다. 나의 고객 중에는 스코들랜드 여왕인 메리 스튜어트도 있고 프랑스의 왕 헨리 4세도 있습니다. 여러 가지 직업을 가지고 있으면서 <<수학 요람 1579>>, <<해석학 서설 1591>>, <<보 기하학 1569>>, <<방정식의 수학적 해법 1600>> 등의 수학책도 편찬했습니다. 과학에도 관심이 있어 가정교사로 일할 때에는 다양한 과학 이야기를 다룬 에세이를 편찬하기도 했지요. 

p20 내가 출판한 책 <<해석학 서설1591>>에서 모르는 양이나 변하는 양을 나타낼 때 A, E, I, O, U와 같은 모음을 사용하고, 이미 알고 있는 양이나 고정된 양을 표현할 때는 자음으로 나타내면서부터 나에게 별명이 생겼습니다. 바로 ‘대수학의 아버지’입니다. 

 내가 살고 있던 시대에는 ‘어떤 것’을 ‘casa’라는 단어를 사용해서 나타냈지만 나는 어떤 것을 A로 더 간단하게 나타냈어요. 그리고 어떤 것의 제곱을 Aq로 어떤 것의 세제곱은 Ac로 나타내면서 식이 더 간단해지고 더 편리하게 되었습니다. 모음과 자음을 사용하여 나타내는 방법이 식을 나타내는데 아주 간단하고 편리하다는 것을 안 사람들도 내가 이용한 방법으로 식을 나타냈습니다. 이는 수학의 역사에서 중요한 사건이 되었고 그 사건의 주인공이 바로 나였기 때문에 ‘대수학의 아버지’라는 별명이 붙은 거예요. 그래서 나를 기준으로 그 전의 계산은 ‘수 계산’이라 하고 이후의 계산은 ‘기호 계산’이라고 합니다. 

p21 나에 대한 일화를 하나 들려줄까요? 

 프랑스와 스페인이 전쟁 중일 때 스페인 왕이 절대 해석할 수 없는 암호를 만들었어요. 그 암호를 프랑스 군대가 가로채서 가져오자 나는 해석해서 프랑스가 전쟁에 유리한 전략을 세울 수 있게 해 주었습니다. 그래서 헨리 4세도 나의 수학적 능력을 높이 평가한답니다. 

1교시 

문자를 사용하여 식을 나타내 볼까요? 

p29 핸드폰에 이런 문자가 와 있네요. 어떤 뜻으로 보낸 문자일까요? (핸드폰 그림 삽입)

 아이들은 케이크와 congratulation라는 단어를 보고 잘 안다는 듯이 손을 번쩍 들어 올렸습니다. 

 “축하한다는 ‘congratulation’이라는 문자와 케이크 그림이 있으니까 생일을 축하한다는 것 같아요.” 

 맞습니다. 핸드폰의 문자와 같이 우리 주변에는 의미를 가진 그림이나 문자 같은 것들이 있어요.  

p31 교통 표지판과 같이 의미를 가지고 있는 기호들이 많이 있어요. 우리가 입는 옷에는 그 옷을 어떻게 세탁해야 하는지 알려 주는 세탁 기호가 있습니다. 빨래를 할 대는 그 옷에 맞는 세탁 방법에 맞추어 세탁을 해야 옷이 상하지 않는답니다. 자, 그럼 세탁 기호를 볼까요? 세탁기 그림 안에 60도라는 표시가 있죠? 이것은 세탁기에서 빨래를 할 수 있다는 것인데 물의 온도가 60도여야 한다는 것입니다. 

p32~33 이밖에도 우리가 생활하는 주변에는 어떤 것을 뜻하도록 약속한 기호들이 많이 있습니다. 

컴퓨터에 써 있는 글자 :  esc, alt 와 같은 기호가 있다. 

버스가 가는 길을 알려주는 B, G와 같은 기호가 있다. 

 그 외에 일기예보를 보면 비, 눈, 구름의 양, 바람의 양 등의 기호가 있고, 음악의 악보를 보면 높은음자리표, 4분음표, 메조포르테, 조금세게 등의 기호가 있다. 

 이러한 기호나 문자가 어떤 뜻을 나타내는지 정해진 약속을 알지 못하면 그 뜻을 알 수 없기 때문에 일기예보, 악보 등에 담겨 있는 내용을 이해할 수가 없습니다. 수학에도 일기예보, 악보의 기호와 같이 뜻을 약속한 기호와 문자들이 있습니다. 

p35 수학에서 기호를 사용하면 문제를 간단하게 표현할 수 있으며, 식은 계산의 방법과 계산의 결과도 나타냅니다. 

 p37 수식을 나타낼 때 모르는 수는 문자를 사용합ㄹ니다. 

 보통 수식을 나타낼 때 x를 가장 많이 쓰지만 상황에 따라 다른 문자를 쓸 수 있습니다. 길이를 모를 때는 길이가 영어로 length 이므로 첫 글자를 이용하여 l로 나타냅니다. 

시간은 영어로 무엇이라고 하죠? 

time이요. 

그래서 수학에서 시간을 모를 때는 time시간의 첫 글자 t로 나타냅니다. 

p39 문자와 수의 곱에서는 수를 문자 앞에 씁니다. 

그러면 어떤 수에 1을 곱한 X*1은 1X라고 써야겠지만 어떤 수에 1을 곱하면 어떤 수가 그대로 나오니까 1은 생략해서 쓴답니다. 하지만 1이 들어 있다고 무조건 생략해서 쓰면 안돼요. 이유를 이 테이프가 설명해 줄 거예요. 

0.1m 이것은 길이가 0.1m인 테이프입니다. 이 테이프를 어떤 수 x 개만큼 붙인 길이는 0.1*xm이죠? 곱하기 기호를 생략하고 1을 생략해 봅시다. 

0.1x 

0.x

이 테이프를 10개 붙였다고 하면 이 식에 x대신에 10이 들어 가야겠죠? 10개 붙인 테이프의 길이를 구하면 0.xm 에 10을 쓴 0.10m, 즉 0.1m이 됩니다. 정말 0.1m가 될까요? 0.1m의 테이프를 10개 붙여 봅시다. 

 직접 붙여 보니까 0.1m 테이프 10개가 모여 1m가 됩니다. 즉 1을 생략하여 쓴 0.1xm에서 계산한 0.1m와는 다릅니다. 1이 들어간 숫자 0.1, 0.01, 100과 같은 숫자에서 1을 생략하는 것이 아니라 숫자 ‘1’을 곱할 때만 생략할 수 있습니다. 

2교시 식에도 값이 있다고!

p63 자, 내가 들고 있는 인형을 봐 주세요. 이 인형은 <그렘린>이라는 영화에 나오는 기즈모입니다. 귀엽게 생겼죠? 이 기즈모를 키우려면 꼭 지켜야 하는 규칙이 있습니다. 밤 12시 이후에는 음식을 주면 안 되고, 몸에 물이 닿으면 안 되고, 햇빛을 보면 안 된다는 것입니다. 밤 12시 이후에 음식을 주고, 몸에 물이 닿으면 인간을 괴롭히는 녹색의 모과이 괴물이 되어버리거든요. 

p64 이 괴물이 모과이 괴물이에요. (그림) 기즈모와 모과이 괴물에 물이 1ml 닿으면 나쁜 모과이 괴물이 한 마리씩 나온답니다. 기즈모에 물이 2ml 닿아 생긴 모과이 괴물에 물을 뿌려다면 얼마나 많은 괴물들이 생겨났을까요? 

 “두 마리요!” 

 비에트가 기즈모에게 물을 부었습니다. 

 네, 두 마리 모과이 괴물이 생겼습니다. 이번에는 모과이 괴물에 뿌린 물에 몇 마리의 모과이 괴물이 생기는지 알아봅시다. 

 기즈모에 물이 2ml 닿아 생긴 모과이 괴물에 물을 얼마만큼 뿌렸는지 모르니까 첫 번째 모과이 괴물에게 뿌린 물의 양을 xml, 두 번째 모과이 괴물에게 뿌린 물의 양을 yml라고 합시다. 

기즈모에게서 생긴 괴물이 두 마리이고 이 괴물에게서 생긴 괴물의 수가 각각 x, y 이므로 전체 괴물의 수를 식으로 나타내면 x+y+2입니다. 

p72 이번에는 뻥튀기를 만들어 봅시다. 지금 이 기계 안에는 옥수수를 넣어서 맛있는 뻥튀기를 만들어 먹을 거예요. 이 기계 안에 옥수수 10g 넣으면 3배에서 5g만큼 적은 양의 부피의 옥수수 뻥튀기가 나옵니다. 

 넣은 옥수수와 나온 옥수수 뻥튀기 사이의 관계를 함수라고 이것을 나타낸 식을 함수식이라고 합니다. 함수가 영어로 function이므로 f라는 문자를 사용하여 나타냅니다. 

f(옥수수)= 옥수수 뻥튀기

넣은 옥수수의 양을 x라고 하면 나오는 옥수수 뻥튀기의 양은 3배의 5g만큼 적은 양이 나오므로 식으로 나타내면 3x-5입니다. 이것을 함수식으로 나타내면 다음과 같습니다. 

f(x)=3x-5

p74 식을 보면 계산하는 방법과 무엇을 의미하는지 알 수 있다고 했죠? 그리고 문자 대신에 수를 넣는 대입을 통하여 식의 값도 구할 수 있었습니다. 다음 시간에는 문자를 사용하여 나타낸 식에서 같은 문자가 들어가 있을 때 간단하게 나타내는 방법을 배워보도록 합시다. 

3교시 일차식 간단하게 나타내기

p85 여기 있는 동전에서 같은 종류끼리 모아서 저금통에 넣을 거예요. 

 500원 2개/ 100원 3개/ 50원 2개/ 10원 3개

저금통이 몇 개 필요할까요? 

4개 입니다. 

p86 500원짜리는 모두 같은 종류이니까 한 저금통에 넣으면 됩니다. 마찬가지로 100원끼리, 50원끼리, 10원끼리 넣어야 하니까 4개의 저금통이 필요합니다. 이렇게 같은 종류를 동류라고 하는데 식에 써 있는 항들도 같은 종류가 있어요. 같은 종류의 항이라고 해서 동류항이라고 합니다. 식에서 동류항은 어떻게 구하는지 알아봅시다. 

4교시 지수법칙

p99 비에트가 종이 한 장을 손에 들었습니다. 이 종이를 이등분 하면 몇 조각이 되나요? 두 조각이 됩니다. 다시 이 색종이 두 조각을 모두 이등분 하면 몇 장이 되나요? 네 조각이 됩니다. 두 조각을 모두 이등분하니까 네 조각이 되었습니다. 색종이를 이등분하면 나누기 전보다 두 배가 많아집니다. 

(이등분한 후 조각의 수)=(이등분하기 전의 조각의 수)*2

p114 비에트가 트라이앵글과 북을 치며 소리를 냅니다. 

 트라이앵글과 북의 소리가 들리죠? 우리가 악가의 소리를 듣는 다는 것은 악기에서 나는 소리가 공기 속에서 움직여 여러분 귀에 들리는 것입니다. 소리는 3가지 요소 소리의 세기, 소리의 높낮이, 소리의 음색으로 만들어집니다. 트라이앵글 소리보다 북소리가 더 크게 들리죠? 이것을 소리의 세기라고 합니다. 리코더를 부를 때 ‘도’와 ‘미’의 소리가 차이가 나는 것은 소리의 높낮이 때문입니다. 그리고 소리의 음색 때문에 우리는 피아노의 ‘도’와 실로폰의 ‘도’가 높이가 같은데도 소리를 구분할 수 있습니다. 북에서 난 소리가 공기를 따라 우리의 귀에 들릴 때 소리는 곡선과 같이 왔다갔다 진동을 하며 움직입니다. 그리고 중심에서 최대로 움직이는 거리를 진폭이라고 합니다. 

p116 소리의 세기는 (진동수*진폭)^2에 비례합니다. 처음 소리의 크기가 1dB 일 때, 진도수가 두 배, 진폭이 세 배가 되면 소리의 세기는 (2*3)^2배가 되므로 36dB가 됩니다. 

5교시 다항식 간단하게 나타내기

: 분배법칙에 대한 설명

6교시 곱셈공식

p139 지금까지 문자를 사용하여 나타낸 식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 간단하게 나타내는 것을 배웠습니다. 오늘은 우리가 건축가라면 지금까지 배운 다항식을 어떻게 사용할 수 있는지 알아봅시다. 우선 이 사진을 보세요. (예술의 전당 사진)

p140 앞의 사진은 예술의 전당입니다. 이곳은 우리의 문화적 주체성을 확립하고 한국문화예술을 발전시키기 위하여 음악관, 미술관, 자료관, 교육관 등에서 예술문화공연을 볼 수 있고 배울 수 있는 공간입니다. 지금 보고 있는 곳이 예술의 전당 중심인 축제 극장으로 한국을 상징하는 선비의 갓 모양으로 만들어졌어요. 

 이곳에서는 뮤지컬, 독주회 등의 공연이 많이 이루어지기 때문에 오페라 하우스, 음악관, 박물관이 있어요. 그리고 음악관이라도 공연의 크기나 관객의 수를 생각해서 음악당, 콘서트홀, 리사이트 홀 등 다양한 크기의 공연장이 있어요. 여러분이 이런 예술 문화 공연장을 만드는 건축가가 되었다면 지금까지 배운 식의 계산을 이용하여 공연장의 크기와 공연을 볼 사람들을 위한 좌석의 수를 생각해야겠죠? 자, 그럼 장소의 크기도 생각해보고 필요한 좌석도 몇 개인지 구해 보도록 합시다. 

 공연장에서 가로의 좌석 수가 10개이고 세로의 좌석 수가 8개라면 전체의 좌석 수는 10*8=80개입니다. 

 여러분이 건축가가 되어 공연장에 들어갈 좌석의 수를 가로의 좌석수=A, 세로의 좌석수=C라고 생각한다면 전체 좌석의 수는 AC가 됩니다. 

p141 비에트가 포스터를 꺼내 들었습니다. 

 이것은 뮤티컬 <맘마미아>의 포스터입니다. 유명한 음악 그룹인 ABBA의 22개의 음악을 하나의 줄거리로 만든 뮤지컬입니다. 엄마와 딸의 가족애를 그리는 줄거리와 서로 다른 22개의 음악이 너무나도 잘 어울려 즐겁게 뮤지컬을 감상할 수 있어요. 영국 극작가상을 수상한 경력이 있는 캐서린 존슨이 극본을 쓰고 1999년 런던에서 처음 공연하여 박스 오피스 기록을 연일 갱신하며 입석까지 매진되었던 유명한 뮤지컬입니다. <오페라의 유령>, <레 미제라블>의 뒤를 있는 히트작으로 평가받고 있으며 뉴욕, 독일, 캐나다, 한국 등 세계 극장가에서 인기리에 공연 중입니다. 

p142 좌석이 AC개인 공연장 보다 더 큰 공연장을 만들기 위해 가로의 좌석수를 B개만큼, 세로의 좌석수를 D개만큼 늘리려고 해요. 가로, 세로의 좌석의 수를 늘려서 만든 공연장의 전체 좌석 수는 얼마일까요? 

“(A+B)(C+D)”입니다. 

그렇죠. 가로가 A+B개이고 세로가 C+D개이므로 (A+B)(C+D)입니다. 

:곱셈 공식의 설명 

p152 엘레베이터를 보면 1층을 나타내는 1, 2층을 나타내는 2 그리고 지하 1층을 나타내는 -1을 본 적이 있죠? 1층, 2층과 같이 우리가 쓰는 1,2,3을 양수라 하고, 지하 1층의 -1, 지하 2층의 -2와 같은 것을 음수라고 합니다. 양수는 양의 부호인 ‘+’를 사용하여 나타내거나 생략해서 나타내고 음수는 음의 부호인 ‘-’를 사용하여 나타냅니다. 이것을 수직선에 나타내면 원전 0을 기준으로 오른쪽을 양수, 왼쪽을 음수라고 해요. 즉 음수는 양수의 반대 방향에 있습니다. 숫자 1,2,3, ... 은 원점 0에서 떨어진 칸의 수를 말합니다. 즉 -4는 원점0의 왼쪽이므로 음수이고 네 칸 떨어져 있다는 것입니다. 

p153 여러분이 가지고 있는 용돈 1000원을 가지고 떡볶이를 사먹으려고 하는데 가격이 올라 1500원이 되었다면 엄마에게 500원을 더 달라고 해야겠죠? 이럴 때 원래 가지고 있던 돈인 1000원이 자산이고 엄마에게 달라고 해야 하는 돈 500원을 부채로 생각합니다. 이때 자산 1000을 양수, 부채 500을 음수라고 할 수 있습니다. 음수의 개념이 처음으로 인도에서 사용되어 유럽 등에도 점점 퍼지게 됩니다. 

 음수라는 개념과 음수의 곱을 계산하는 것이 어렵죠? 인도에서 처음 사용하긴 했지만 그 개념이 어려워서 많은 사람들이 음수 사용하는 것을 꺼려했고 위대한 사상가인 파스칼도 이해하지 못했습니다. 그래서 영하 5도를 -5처럼 나타내는 온도계에서도 음수의 사용을 피하기 위해 노력하였습니다. 실험실에서 얻을 수 있는 기온 중 가장 낮은 온도를 화씨 0도가 되게 하여 영하의 기온으로 읽는 경우가 나오지 않게 했지요. 그러나 우리는 오히려 화씨 온도계보다 섭씨 온도계와 친하고 일상생활에서 더 많이 사용하고 있습니다. 이처럼 여러분도 점차 음수와 친해질 수 있을 거예요. 

이 부분은 아이들에게도 희망이 되는 문구이다. 우리는 원래 음수를 싫어했다. 생각해보면 인류는 점점 더 똑똑해지고 있다. 

7교시 문자 사용의 역사

p169 우선 우리가 사용하는 수학이라는 말 ‘MATHEMATICS’은 배우는 모든 것이라는 뜻의 그리스어 MATHEMATA마테마타에서 유래된 것으로 수나 계산만을 의미하는 것이 아니라 일반적인 지식이나 우리가 사고하는 과정을 뜻합니다. 그래서 수학이 발달할수록 지식이 많은 것이기 때문에 수학이 발달한 나라일수록 문명도 더 많이 발달했습니다. 이러한 수학의 발달은 수학 기호의 발달과 함께 합니다. 

p170 막대기 하나, 두 개, 세 개로 숫자를 나타내던 것을 1,2,3, ... 이라는 기호를 사용하는 것이나 아무 것도 없다는 것을 빈 자리로 나타내어 ’12 3‘라고 나타내던 것을 숫자 ‘0‘이라는 기호를 발명하여 ‘1203‘이라고 나타내는 것, 일의자리, 십의 자리, 백의 자리의 개념인 십진법을 사용하면서 숫자를 나타내는 기호가 발달한 인도는 상업과 무역 등이 아주 발달한 나라였습니다. 이렇게 발전된 수학이 유럽에도 전해져서 사용되게 돼요. 

p171 그럼 이러한 수학과 상업 등은 어디서부터 생겨난 것일까요? 

4대 문명의 발상지는 메소포타미아 문명, 황하 문명, 이집트 문명, 인더스 문명입니다. 

 문명의 발상지는 기후가 따뜻하고, 큰 강을 끼고 있어 홍수 때면 상류로부터 기름진 흙이 내려오기 때문에 식량이 풍부해서 도시가 형성되고 문명이 발생하였습니다. 

p172 문명의 발상지에서는 세금을 내고 물건을 사고팔기 위해 숫자를 만들어 사용했습니다. 이집트 문명은 ‘나일 강’이 규칙적으로 홍수가 일어났어요. 홍수의 피해를 줄이기 위해 홍수가 일어나는 시기를 규칙적으로 예측하기 위한 수학, 태양력, 건축술, 천문학이 발달했습니다. 

p173 ‘린드파피루스’에서 파피루스는 이집트 연못에 나는 풀인 파리루스를 잘게 잘라서 만든 종이의 이름이고 ‘린드’는 헤리린드라는 사람이 이집트의 고대 건물 폐허 속에서 발견해서 지어진 이름입니다. 이 책에는 술의 농도를 구하는 방법이나 가축의 먹이를 어떻게 혼합해야 하는지 등의 문제들이 수학식으로 적혀 있습니다. 

 여기 써 있는 그림 같은 문자가 상형문자로 이집트에서 사용하던 문자에요. 여러분은 보고 어떤 뜻인지 모르겠죠? 

 여기 적혀 있는 수학 계산식에는 더하기와 빼기의 기호도 있는데 우리가 현재 쓰는 기호와 달라서 여러분이 알 수 없어요. 이집트에서는 더하기를 왼쪽으로 걸어가는 다리 한 쌍으로 썼고, 빼기는 오른쪽으로 걸어가는 다리 한 쌍으로 썼어요. 그래서 계산 식을 쓸 때 상형 문자를 이용하게 식을 나타냈습니다. 

 그 후 3세기의 수학자 디오판토스가 이런 계산식을 더 간단하게 나타내는 약어를 사용해요. 우리가 선생님의 약어로 ‘샘’이라는 말을 사용하거나 ‘열심히 공부하자’는 것의 약어로 ‘열공’이라고 하듯이 ‘어떤 수가 있을 때 이 수의 세제곱의 두 배에 제곱의 5배를 뺀다’는 것을 약어로 나타냈어요. 

p175 그후 14세기부터 16세기까지 문화, 예술의 모든 면에서 고대 그리스와 로마의 문화를 발달시키자는 문예부흥인 르네상승 운동이 일어나면서 수학도 많은 발전을 하게 됩니다. 수학이 발달되면서 수학자들은 수학식을 나타내는 편리한 방법을 만들기 위해 각자 편리한 기호를 만들게 됩니다. 이탈리아 수학자 파치올리는 ‘더 많은’을 뜻하는 ‘PIU’에서 덧셈을 p, ‘더 적은’을 뜻하는 ‘meno’로부터 뺄셈은 m으로 나타내었고 독일의 비트만은 더하기를 ‘et’ 빼기를 ‘-’로 나타냈습니다. 

p176 영국의 수학자인 오트레드는 수학적 기호가 수학식을 나타내는데 매우 중요하다는 것을 강조하면서 150개가 넘는 수학 기호를 만들었지만 현재까지는 곱셈기호만 사용하고 있습니다. 

 이 시대에 많은 수학 기호가 만들어졌지만 현재 이 기호를 모두 사용하는 것은 아니에요. 여러분들이 줄넘기를 사기 위해 문구점에 갔을 때 줄넘기의 종류가 많이 있으면 어떤 것을 고를까요? 

 많은 줄넘기 중에서 본인에게 가장 편리한 것을 사겠죠? 이처럼 사람들이 쓰기 편한 수학 기호들만이 현재 남아서 우리의 수학책에 쓰이고 있어요. 

p177 이러한 기호의 사용 중에서 가장 획기적이고 놀랄만한 발견을 한 사람이 바로 여러분과 수업을 같이 하고 있는 나에요. 내 이름이 뭐지요? 

“비에트요”

p178 대수학은 어떤 계산을 위해 문자와 기호를 사용하여 나타내는 학문이고 기하학은 원이나 삼각형, 선과 같은 도형을 다루는 학문입니다. 이런 원이나 삼각형과 같은 기하학과 식을 나타내는 대수학이 연결되어 원의 모양을 식으로 나타낼 수 있게 된 것은 “나는 생각한다, 고로 나는 존재한다”라는 유명한 말을 남긴 철학자이자 수학자인 데카르트의 업적 덕분입니다. 

p179 어려서부터 몸이 허약해서 침대에 누워 명상을 즐기던 데카르트는 천장을 기어 다니는 파리를 보고 위치를 나타내는 방법이 없을까 고민하다가 위도와 경도와 같이 위치를 알려주는 좌푤ㄹ 만들었습니다. 

 그래서 하트 모양의 이 도형의 식을 (x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0라고 나타내는 것이 데카르트에 의해 가능해진 것입니다. 

 하지만 이런 식을 만들어서 도형을 나타내는 방법을 더 깊이 연구한 사람은 독일의 수학자 라이프니츠입니다. 옥수수를 넣었을 때 옥수수 뻥튀기가 나오는 식 f(옥수수)=(옥수수 뻥튀기)에서 함수 function이라는 용어를 처음 사용한 사람입니다. 

p180 그럼 우리나라의 수학은 어땠을까요? 

 서양의 수학이 전래되기 전 우리의 전통 수학은 산학이라는 이름으로 불렸습니다. 우리나라의 수학은 성을 쌓거나 일식과 월식을 예언하는 것과 관련하여 발달하였고 신라 시대에 산학을 가르쳤다는 기록이 <<삼국사기>>에 나오기도 합니다. 

 세종대왕은 수학의 발전을 위해 많은 노력을 하여 집현전 학자들에게 수학을 배우게 했고 나도 집현전의 학자에게 수학책에 대한 강의를 받았습니다. 

p181 인도에서 ‘0’이 발견되고 ‘십진법’을 사용하며 수학이 발달할 때, 유럽에서는 일차방정식, 이차방정식의 해법을 연구하고 있었고 우리나라 조선은 중국 송나라, 원나라의 수학을 흡수하여 독자적으로 수학을 발달시켰어요. 

 우리나라의 수학자 홍정하와 중국의 수학자 하국주가 수학 대결을 하고 있었어요. 옥의 부피 구하는 문제를 흥정하기 내었는데 하국주가 풀지 못해서 결국 지고 말았답니다. 홍정하는 조선 시대의 대나무로 만든 계산기인 산목셈으로 이 문제를 거뜬히 풀었어요. 즉 구의 부피를 구하는 식이 조선 시대에 있었다는 거죠. 

 이렇게 수학은 문자와 기호를 사용하면서 점차 발달하게 되었고 수학과 수학의 문자, 기호가 발달할수록 우리의 삶도 편해졌습니다. 슈퍼마켓에서 물건을 살 때 점원이 계산기를 가지고 하나하나 계산하지 않고 바코드로 상품 번호를 스캔하죠? 바코트라는 것이 수학의 이진법을 이용하여 만들어진 것입니다. 

 이렇게 수학은 여러 가지 복잡한 계산을 식으로 나타내야 하기 때문에 문자와 기호를 사용하여 간단하게 나타낼 필요가 있었습니다. 이렇게 간단하게 나타낸 식으로 인해 수학이 발달하였고 우리의 삶도 더 편하게 되었습니다. 이 시간을 계기고 수학에서 문자와 기호의 사용이 얼마나 중요한 것인지 생각해 보기를 바랍니다. 

3. 내가 저자라면 

 이 책은 시리즈 물로 여러 저자가 각자 파트를 맡아 쓴 것 같다. 내가 처음 고른 주제는 문자와 식이다. 초등학교 때 숫자를 배우듯이 중학교에서는 문자를 배워야 한다. 기초다. 수를 넘어 문자를 사용하기 시작하면 드디어 수학에 입문했다고 할 수 있다. 나는 이 시리즈를 다 읽어볼 생각으로 이 책을 골랐다. 물론 앞으로도 읽을 예정이다. 하지만 북리뷰는 하지 않아야겠다. 마음을 무찔러 드는 내용이 별로 없기 때문이다. 단, 내가 저자라면을 조금 쓸 수 있게 해주는 책이기에 읽어보고, 연구해볼 필요가 있다. 

 내가 처음 목차를 짤 때 7교시로 구성하고 점심시간을 넣었는데, 이 책도 목차를 7교시로 만들어 놨다. 역시 1교시, 2교시 구성은 목차를 짤 때 도움이 됐으나 책이 출판될 때는 절대 넣지 말아야 할 단어다. 처음부터 학생들이 질릴 것 같다. 강의를 하면서 많이 느끼고 있는데 학생들은 학교를 그리 좋아하지 않는다. 책에서 재미를 줄 수 있으면 좋은데 1교시라니 말도 안된다. 1교시부터 6교시까지 문자와 식 내용을 차례차례 넣어놨다. 지수법칙, 곱셈공식, 그 전에는 동류항, 다항식, 문자에 대한 개괄적인 설명이 있다. 그리고 7교시에 문자 사용의 역사를 넣었다. 내가 학생이라면 7교시에 좀 흥미를 느낄 것 같다. 그래서 내가 저자였다면 이 구성으로 갈 때 7교시를 1교시로 넣었을 것이다. 학생들을 가르칠 때도 나는 늘 새로운 단원이 시작되면 역사적이 이야기나 또는 단원과 관련된 이야기를 해주곤 했었다. 환기 시키는 측면도 있고, 흥미를 유발하기 위한 의도도 있었다. 이 책도 처음부터 학교에서 배우는 내용을 1교시에 배치하는 게 아니라 학교에서는 잘 다뤄주지 않는 역사를 먼저 가르쳐줬더라면 더 매력적이었을 것 같다. 

 도움이 됐던 점은 최대한 교과서처럼 보이지 않기 위해 예를 넣었다는 것이다. 애쓴 흔적이 좀 보인다. 그런데 예들이 아주 좋지는 않다. 또 비에트가 설명하고 학생들이 듣는 컨셉으로 스토리텔링을 하려고 했으나 내용을 너무 집중적으로 가르치고 있기 때문에 정말 교과서 보조 교재 정도의 역할 밖에 할 수 없을 것 같다. 

 나는 이렇게 쓰지 않고 싶다. 이제까지 컬럼은 이렇게 써 왔는지 모르지만 나도 이제 재미있게 글을 쓰고 싶다는 생각이 든다. 그런데 딱히 아이디어는 지금 없다. 하지만 이렇게 쓰면 안 된다는 사실을 깨달았다. 

 예도 아이들의 눈길을 끌 수 있는 아주 매력적인 이야기여야 한다. 최신이면서, 질리지 않고, 변하지 않는 예로 다가가야 한다. 이 책이 더 재미있으려면 내용 설명은 많이 빼고, 실제 활용되는 예, 비에트에 관한 재미있는 일화, 문자 사용이 중요한데 그 중요한 것을 피부에 와닿게 썼어야 한다. 설명하지 말고 보여줘야 했다. 하지만 설명하는데 그쳤다. 

 이렇게 쓰지 말아야 한다는 걸 알려준 책이었다.