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2012년 10월 22일 11시 56분 등록

 

엇갈린 운명

 

 

 “선생님! 벌써 중학교 2학년 끝나가요. 헐, 고등학생 되는거 무서워요. 어떡해요?”

 1분단 맨 앞자리에 앉은 재현이가 푸념을 늘어 놓습니다. 한 두번 있는 일이 아니라 저는 대수롭지 않게 대답했습니다.

 “재현아, 중3될 것부터 생각해. 아직 1년하고 3개월이 더 남았는데, 뭐 그리 걱정하니? 지금 공부하는 것에 집중해봐.”

 평소 같으면 제 말에 곧 고개를 떨구고 교과서를 보거나, 옆 친구를 툭 건드리며 다른 장난을 시작할텐데 그날은 재현이가 말 꼬리를 잡습니다.

 “아, 근데, 정말 걱정되요. 고등학생 되면 공부도 어렵고, 대학도 가야되고, 엄청 무섭단말이에요.”

 저도 그 꼬리를 잡습니다.

 “그래? 재현이가 진짜 걱정되나보네. 뭐가 그리 너를 걱정하게 하니? 단지 고등학생이 되면 공부를 많이 해야 해서? 아니면 지금까지 열심히 준비하지 않은 것이 후회스러워서? 어떤 점이 그렇게 재현이를 걱정하게 하는걸까? 구체적으로 이야기해봐.”

 재현이는 구체적으로 생각하진 못했나봅니다. 그냥 걱정된다고만 하고 고개를 떨굽니다. 그러자 재현이가 기어들어가는 목소리로 답했던 말꼬리를 잡은 2분단의 혜리가 이야기합니다.

 “전 구체적으로 수학 공부가 걱정이에요. 고등학교 가면 막 미분적분 같은거 배운다는데, 우리가 그거 왜 배워야해요?”

걸려들었습니다. 왜 배워야 하냐고? 미분적분을? EBS 다큐프라임에서 보여준 ‘문명과 수학’에서 미분적분의 유래에 대해 다룬 부분이 생각났습니다. 대학에서 수학교육론을 배울 때 미적분에 관하여 이야기 할 때면 늘 등장하는 두 학자의 이야기입니다. 아이들에게 재미있는 이야기를 해주겠다고 하고, 제 이야기를 다 들은 후 혜리가 질문한 것에 대해 다시 생각해 해보자고 했습니다. 여러분도 들어보실래요? 시작합니다.

 

 여기는 서울에서 부산으로 가는 고속도로입니다. 차들이 쌩생 달립니다. 우리는 고속버스를 타고 가고 있습니다. 총 4시간이 걸렸습니다. 고속버스의 평균속도는 얼마일까요? 서울에서 부산까지는 약 400km입니다. 고속버스는 평균 100km/h로 달렸군요. 하지만 여기서 우리가 구한 속도는 평균값 입니다. 실제로 고속버스 속도는 끊임없이 바꼈을 겁니다. 그럼 고속버스가 달린 순간 순간의 속도는 어떻게 알 수 있을까요?

 

 같은 시기에 두 명의 수학자가 답을 찾았습니다. 영국의 아이작 뉴튼과 독일의 라이프니츠입니다. 먼저 독일의 라이프니츠부터 이야 기 해봅시다. 라이프니츠의 평생이 담긴 곳인 라이프니츠 도서관에 가면 라이프니츠가 남긴 것들이 있습니다. 수학자는 죽으면 무엇을 남길까요? 라이프니츠의 유산중 가장 의미 있는 물건은 계산기입니다. 1694년 최초로 사칙연산을 했던 계산기인데 곱셈 나눗셈을 못하는 사람이 많았던 그 시대는 획기적인 발명품이었습니다. 그런데 그보다 더 중요한 것은 그가 남긴 원고입니다. 그는 29살에 천재적인 생각 하나를 해냅니다. 바로 미분입니다. 미분으로 우리의 순간 속도를 알 수 있다는 것을 생각해 냈지요. 여러분이 잘 아는 좌표평면을 상상해 봅시다. 가로 축, 즉 x축은 거리, 세로 축, 즉 y축은 시간으로 놓고 그래프를 그려봅시다.

(시간) 

  y
     GRAPH.gif  x (거리)

 

 그래프에 한 점 보이시나요? 저 점에서의 순간 속력은 얼마일까요? 점점 간격을 좁혀 저 점에서의 순간속력을 구하는 것이 바로 미분입니다. 그 시대에 미분은 일종의 마법과도 같았지요. 모든 것은 움직입니다. 그러나 그때까지 수학은 움직이는 걸 다룬적이 없습니다. 라이프니츠에 이르러 우리는 움직이는 모든 것을 구할 수 있게 됐습니다. 수학은 이때 다시 탄생했습니다. 미분이 오늘날 이렇게 중요해 질 것이라는 것을 당시 학자는 알았을까요? 라이프니츠는 알았습니다. 미분법이 새로운 시대를 열것이라는 걸 직감했지요. 자신의 연구가 인류의 방향을 바꿀 것이라는 기대로 라이프니츠는 부풀어 올랐습니다. 그러나 이미 몇 년 전 그와 똑같은 생각을 한 수학자가 있다는 것을 알게 됩니다. 라이프니츠는 표절자로 몰리게 되죠. 라이프니츠가 논문을 내기 10년 전 영국의 이 수학자도 미분을 알고 있었습니다. 그 아이디어는 그의 고향인 영국 그랜섬에서 만들어졌습니다. 그는 바로 아이작 뉴턴입니다.

뉴턴은 1642년 크리스마스에 태어났습니다. 그날은 갈릴레이가 죽은날이기도 하지요. 뉴턴의 어린시절은 행복하지 못했습니다. 뉴턴은 할머니와 살았습니다. 어머니와 새아버지 이복동생들과 친해지지 않았지요. 할머니와 살던 뉴턴은 혼자 생각하기 좋아했습니다. 몽상과 눈에 보이지 않는 것에 대해 계속 생각했지요. 세상에 궁금한 것이 많았습니다. 가장 관심이 가는 것은 빛이었는데 눈으로 빛이 어떻게 들어오는지 실험하기도 했지요. 누턴은 눈이 멀지도 모르는 위험을 생각하는 타입이 아니었습니다. 뉴턴하면 떠오르는 나무가 하나 있지요? 바로 사과나무입니다. 지금도 뉴턴에 생가에 가면 뉴턴 만큼 유명한 사과나무 한그루가 있답니다. 그 나무는 영국의 가장 위대한 나무로 선정됐다고 합니다. 뉴턴은 모든 주변 현상에 관심을 가졌습니다. 그의 눈에 들어온 것이 바로 떨어지는 사과였지요. 그것은 끊임없이 움직이는 물체였습니다. 그런데 사과는 직선으로 떨어지지만 행성은 타원으로 돕니다.(케플러가 발견한 사실입니다.) 타원으로 돌 때 행성은 늘 같은 속도로 움직이지 않습니다. 어떤 때는 빠르고 어떤 때는 느립니다. 타원이 돌 때 순간의 속도, 이것을 알아내기 위해 뉴턴은 미분을 사용합니다. 뉴턴의 용어로는 유율입니다. 1665년 그는 속도에 대한 변화율을 유율이라고 정했지요. 이것은 라이프니츠보다 10년이나 빠른 발견이었습니다.

 

 17세기 영국 왕립학회는 유럽학문의 중심이었습니다. 뉴턴은 1703년부터 25년간 이 왕립학회의 회장이었습니다. 라이프니츠는 일반회원이었지요. 뉴턴은 미분을 발견한지 20년만에 동료들의 권유로 책 한권을 냈습니다. 바로 『자연철학에 대한 수학적 원리 』라는 책이지요. 뉴턴이 직접 쓴 원고입니다. 뉴턴은 그 책에서 수학적 표현들을 이용해 우주의 원리를 풀고자 했습니다. 우리가 잘 아는 만유인력의 법칙, 관성의 법칙, 행성의 타원 궤도 문제 등은 이 책을 통해 처음 세상에 나왔습니다. 미적분은 거의 사용하지 않았지만 미적분을 알지 못하면 나올 수 없는 책이었습니다. 어쨌든 뉴턴이 라이프니츠보다 미분에 대해 10년 먼저 생각했지만 출판은 늦었습니다. 뉴턴이 요즘 학자였다면 재빨리 자신의 연구 결과를 학회지에 발표했을 겁니다. 하지만 그는 아주 내성적이고 은둔자형 성격이었습니다. 그래서 출판이 늦었던 것이지요. 그런데 미적분 저작권을 두고서는 달라지기 시작했습니다.

 영국의 학자들은 라이프니츠가 뉴턴을 베꼈다고 생각을 했습니다. 라이프니츠 추종자들은 생각이 달랐지요. 뉴턴이 베겼다고 생각했습니다. 라이프니츠와 뉴턴의 싸움은 대륙과 영국깐의 싸움으로 번졌습니다. 또 다른 유명한 수학자 베르누이는 라이프니츠 편이었습니다. 우선권 논쟁이 치열하던 때 사이클로이드 문제1)를 냈던 수학자이지요. 그 문제는 뉴턴이 미적분을 아는지 떠본 문제였습니다. 

 

 미적분 저작권이 누구에게 있는지는 왕립학회에서 판가름을 했습니다. 미적분의 최초 발견자는 뉴턴이 됐습니다. 라이프니츠는 미적분의 두 번째 발견자가 되었습니다. 과학에 2등은 필요 없습니다. 왕립학회의 판정으로 라이프니츠의 충격은 회복되지 못했습니다. 라이프니츠의 말년은 고독했습니다. 라이프니츠는 하노버 작은 교회에 묻혔습니다. 그의 장례식에는 비서 한명만 참가했습니다. 미적분의 중요성을 알았고, 평생 매달렸지만 생전에 미적분은 그의 소유가 아니었지요. 뉴턴은 다릅니다. 영국의 심장인 웨스트민스터 사원에 묻혔습니다. 그곳엔 셰익스피어, 바이런, 헨델, 처치, 영국의 위대한 사람들의 묘가 있습니다. 뉴턴은 가장 큰 자리 한 가운데 위치하고 있습니다. 당대 최고의 학자가 누릴 영광을 다 누리고 가장 영광스러운 자리에 누웠습니다. 두 사람의 싸움은 소모적으로 보이지만 학자로서는 당연한 싸움이었습니다. 삶과 죽음은 뉴턴의 승리로 보입니다.

 

 여기까지 이야기를 들은 학생들은 라이프니츠의 말년을 위로하는 목소리를 냅니다.

“아......, 라이프니츠 불쌍해요.”

우리가 지금 미분적분을 배워야 하는 이유보다 학자의 삶에 대한 연민을 표현합니다. 우리 학생들을 실망시킬 수는 없죠. 그래서 저는 더 이야기 합니다.

“그런데 애들아! 미적분이라는 학문은 두 수학자의 삶과 다른 생을 살고 있단다. 라이프니츠의 삶은 고독했지만 그가 발견한 미적분은 오래 기억되고 있지. 사람과 학문의 운명이 엇갈렸다고나 할까?”

 두 사람의 미적분 중에서 끝가지 살아남은 것은 라이프니츠의 미적분입니다. 전세계 수학 강의실에서 쓰는 미적분은 라이프니츠의 미적분입니다.

“와! 정말요? 우와!”

 학생들이 좋아합니다. 오묘한 표정을 짓는 친구들도 있습니다. 삶이란 참 아이러니 하구나, 생각하는 학생도 있는 것 같습니다. 분필을 들고 칠판에 라이프니츠가 사용한 미적분 기호를 보여줍니다. dx, 등 모두 라이프니츠가 사용한 기호입니다.

 

 자, 다시 질문으로 돌아가 봅시다. 우리는 왜 고등학교에 가서 미적분을 배워야 하는 것일까요? 학생들의 답은 아직 듣지 못했지만, 나름 생각하는 것이 있겠지요. 저는 이렇게 생각합니다. 라이프니츠와 뉴턴이 알아낸 미적분은 우리를 교실 안에만 머무르지 않고 움직이는 세계로 나오게 합니다. 묘하게도 같은 시기 다른 장소에서 하나의 생각이 나왔습니다. 그것도 이전의 세계를 뒤바꿀만한 생각이었지요. 아마도 그 생각은 이 세상에 나올 기회만을 기다리고 있다가 무르익고 무르익어서 동시대에 터져나온 것 같습니다. 그 씨앗이 두 명의 천재를 만난 것입니다. 이 세상을 뒤바꿔 놓았지요. 우리는 그들이 발견한 세상에 삽니다. 로켓을 쏘고, 행성을 탐사하는 세계에 살고 있지요. 그래서 우리가 사는 세계를 알려면 그들이 발견한 미분적분을 배워야 하는 겁니다. 그리고 우리는 그들이 준 새로운 생각의 도구를 가지고 우리가 살고 있는 세계를 이해하고 더 나아가 우리가 사는 세계에 숨겨진 비밀을 발견해야 하지 않을까요?

 

* 사이클로이드 문제 : 높이가 다른 두 점 A와B가 있다. A에서 공을 굴렸을 때 공이 가장 빠르게 B에 도착하는 선은 무엇인가?

답 : 사이클로이드 곡선  (그림 출처 : http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=807)

사이클로이드 곡선.jpg

 

직선보다 사이클로이드 곡선에 공을 굴리면 더 빠르게 밑으로 내려온다는 사실! 직선은 각 점에서의 순간속력과 평균속력이 같지만 사이클로이드 곡선은 각 점마다의 순간 속력이 다 다름. 특히 P1에서 접선을 그려보면 P와 L을 이은 직선보다 기울기가 가파를 것이다. (아래 그림 참고)

사이클로이드 곡선 2.gif 

(그림 출처 : http://cafe.naver.com/xeviousclub/2829)

 

* 참고 : EBS 다큐프라임 『문명과 수학』 제4부 움직이는 세계, 미적분

IP *.196.23.76

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2012.10.22 12:14:17 *.9.168.189

ㅋㅋ 세린아 우린 어렵다

그림을 넣으니 더 좋은 걸?

책을 쓸 때도 그림이 많이 들어가면 이해하는데 도움이 많이 될 듯 허이.

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2012.10.22 12:38:17 *.196.23.76

ㅋㅋ 언니 라이프니츠와 뉴턴 이야기라 별로 어렵지 않을거에요.

괜히 그래프가 들어가서 그런 느낌이 들지도 ^^

 

(근데 진짜 어려워요??? ㅋㅋㅋㅋ 꺼이꺼이꺼이 꺼이~~~ㅠㅠ)

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2012.10.22 13:14:03 *.210.139.5
세린아 ! 이번 칼럼은 진짜 대박이다~

내가 이런 스토리를 소시적에 들었다면, 얼마나 공부 열심히 해 부러쓸까...생각이 나면서 좀 후회 스럽다잉.

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2012.10.22 14:04:27 *.196.23.76

^^ 앗! 감사해요.

수학에 대해 찾다보니 좋은 프로그램이 있었어요. 컬럼으로 변신시킴!

저도 책 쓰면서 대학 때 공부한 걸 다시 잘 정리하게 되고, 학생들에게 풍부한 이야기 해줄 수 있어 좋아요.

대박이라고 해주니까. 쑥스쑥스

 

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2012.10.22 13:28:46 *.68.172.4

우와 이번 칼럼 진짜 대박이다.222 ㅋㅋㅋ 이렇게 책 써내면 될 듯!

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2012.10.22 14:06:13 *.196.23.76

ㅋㅋㅋ 웅웅!

다행이다. 더 쉽게 쓰는 연습 해야할 듯.

 

이건 '고수'에 해당시켜야 할까? ㅋㅋ 미적분이니까.

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2012.10.22 14:14:41 *.51.145.193

아, 정말...내가 중학교, 아니지 고등학교 때라도 세린 선생님을 만났더라면

수학만 공부 했을거야~~ 친절한 설명에 철학적 깊이, 뻑가는 목소리하며...ㅋㅋㅋ

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2012.10.23 09:13:16 *.196.23.76

ㅋㅋㅋ 뻑가는 목소리 ㅋㅋㅋ

이제라도 오빠에게 '수학'이 재밌는 학문이 될 수 있다면!!

아들, 딸에게 재밌게 이야기 해줄 수 있으니까.

고마워요!

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id: 깔리여신
2012.10.22 22:29:48 *.85.249.182

세린! 수학도 이렇게 이야기형식으로 재미있게 풀어낼 수 있구나.

라이프니찌가 철학자인줄 알앗는데 수학자구나.

대한민국의 중학생 수학은 세린신이 책임진다.

세린이의 생각이 이렇게 넓고 깊은 줄 몰랐어.

세린 ----짱!!!

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2012.10.23 09:12:06 *.196.23.76

^.^ 깔리여신님 감사해용. ㅎㅎㅎ

라이프니찌는 철학자이기도, 수학자이기도.

댓글 보니 힘이 나요!!

대한민국의 중학생 수학은 제가???

그런날 올 수 있게 아자아자

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2012.10.23 17:04:53 *.114.49.161

수포자 콩두는 다 못읽음 -_- 고속도로 지점부터 중도 포기, 그래프 스크롤 내리며 한숨

 

지난 주에요, 중1 수포자 엄마와 이야기를 했거든요.

잘 하라는 것도 아니고,

이담에 젊은 새로 비상할 때 수학이 죄수용 족쇄나 쇠구슬이 안될 정도,

그러니까 60~70점만 받으면 사고 싶어하는 핸드폰도 사 주겠다고..

아니 이런 교환보다 애가 타서 돌아가실 지경인 엄마였어요.

 

그 친구에게는 수학 영역에 대한 흥미보다

근본적으로 못하고 재미도 없는 수학을 왜 해야 하고,

수포자가 나를 어떻게 제한하는 지를 조곤조곤 말해주는 이가 필요하겠구나 생각했어요.

그러면서 세린을 떠올렸어요.

엄마도 대학가는데 필요하니까 라는 대답만 갖고 있고요.

 

세린 화이팅

매주 새로 써서 올라오는 세린신의 수학 칼럼을 보면서 대충 내고 있는

저는 많은 도전과 힘을 받아요. 고마워요.   

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