제자를 사랑하는 마음으로

 “선생님, 그 책 쓰시는 목적이 나중에 다른거 하고 싶으신 거에요? 정말 우리들을 위해 쓰시는 거에요?”

 책을 쓰겠다고 마음 먹은 건 2011년이었다. 여선생이 여중생들에게 해주고 싶은 말을 모아 책 한권을 쓰고 그 책에 ‘너는 가능성이다’라고 이름 붙여주고 싶었다. 쓰는 내내 행복하기도 했고, 힘들기도 했다. 하지만 그 책은 세상 어디에도 나오지 않았다. 내 책장 한 귀퉁이에 초고가 있다. 그 책을 내지 않은 이유는 나의 빈약한 경험과 단편적인 지식이 이 시대의 미래이자, 내가 아끼고 사랑하는 제자들에게 큰 도움을 못 줄 것 같았기 때문이다. 빚진 마음이 컸다. 그들에게 그들의 위한 책을 내겠다고 약속했었기 때문이다. 그때 나를 도와주고, 응원해줬던 제자들은 지금 고등학교 2학년이다. 그 제자들과의 약속을 지키기 위해서라도 나는 좋은 책을 세상에 내놓고 싶었다. 빈약한 경험과 단편적인 지식을 극복하고 그들을 위해서, 그리고 그들의 후배들을 위해서 진실한 책을 세상에 내놓고 싶었다. 이것이 내가 이 책을 쓰게 된 동기다.

 그들의 후배들이 그들을 이어 나를 도왔다. 처음 소개한 문장은 이 책이 나올 수 있도록 도와줬던 한 제자가 내게 질문한 것이다. ‘세린쌤을 도와줘! 프로젝트 1’ 설문지에 응답을 해줬 날 아림이가 내게 질문했다. 날카로운 질문이었다. 나는 그 질문을 받고 책을 쓰는 내내 이 마음 하나로 썼다. 진심으로 질풍노도의 시기를 겪고 있는 나의 학생들을 위해 써야겠다고 말이다. 이 책은 수학을 싫어하고 고민이 많은 중학생을 대상으로 썼다. 나는 수학을 재미있게 소개하면서 동시에 그들의 리얼한 고민을 들어주고 공감하는 언니의 마음을 잃지 않으려고 했다. 그들이 이 책을 읽으면서 나의 마음을 느낄 수 있었으면 좋겠다. 책을 읽으면서 진심으로 그들을 위하는 나의 마음을 알아주면, 수학이 더 친근하게 느껴지고, 그들의 중학교 시절의 작은 나침반을 찾을 수 있을 것 같다.

 이 책을 잘 활용하려면 책을 읽는 동안 누군가와 대화하고 있거나 수업 현장에 참여했다고 생각하면 좋다. 한 시간 수업을 듣고 나면 수학에 대한 새로운 패러다임을 갖게 된다. 무조건 계산하고, 공식을 외우고, 지겹게 문제를 푸는 수학이 아니라, 21세기 대한민국 중학교 교실에서 배우는 수학 내용이 어디로부터 왔는지, 누가 발견했는지, 왜 배우는 지에 대해 알 수 있다. 기호와 식을 거부하는 문과적 성향이 짙은 학생들을 위해 텍스트 위주의 설명을 하려고 노력했다. 어쩔 수 없이 수학적 기호와 식을 사용해야 할때는 되도록 간단하고, 보기 쉽게 표현하려고 했다. 무엇보다 학생들이 수학을 친근하게 느낄 수 있도록 서술했다.

 수학은 문제를 해결하기 위한 좋은 도구다. 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있을 수 있다. 하지만 수학적으로 사고하여 해결하면 훨씬 빠르고, 간결하고, 정확하게 풀어낼 수 있다. 수학적으로 사고한다는 것은 바로 남다른 문제 해결 방법을 생각할 줄 안다는 뜻과 같은 말이다. 또 어떤 현상을 볼 때 다른 시각으로 볼 수 있다. 창의적 사고와 연결이 된다. 이 책을 읽고 나면 수학자들이 자신들 앞에 놓인 문제를 두고 어떻게 생각해서 풀었는지, 수학을 어떻게 발전시켰는지 알 수 있다. 그들의 사고를 따라가다 보면 우리도 그들처럼 창조적인 생각을 할 수 있다.

 수학은 실용적인 면도 있고 추상적인 면도 있다. 우리가 잊지 않아야 할 것은 실용적인 것이라고 해서 모두 눈에 보이는 것은 아니라는 사실이다. 생각하는 힘은 살면서 아주 실용적이다. 하지만 생각하는 힘 자체는 눈에 잘 보이지 않는다. 학생들은 살면서 수학을 활용할 때는 돈 계산 뿐인데 왜 함수를 배우고, 방정식을 열나게 풀어야 하냐고 한다. 이 이야기를 듣다보면 꼭 그런 것 같이 생각이 된다. 그런데 정신을 차리고 다시 생각해보자. 우리가 정말 계산만 하고 살까? 계산을 한다는 것 안에는 단순한 사칙연산을 뛰어넘는 방정식 계산, 부등식 계산이 있다. 그리고 두가지 양 사이의 비교 및 대응도 있다. 우리가 어떤 의사결정을 할 때 방정식, 부등식, 함수, 확률과 통계에서 배운대로 사고하고 계산하며 선택할 때가 많다. 지금 당장 문제를 푸는 것이 내 삶에 잘 활용되지 않는 것처럼 느껴지지만 따지고 보면 우리 삶에 전반적으로 수학의 각 영역이 잘 활용되고 있다. 특히 확률과 통계는 의사결정에 중대한 영향을 미친다.

 수학은 가끔 우리에게 즐거움을 준다. 물론 아직 즐거움을 느껴보지 못한 친구들이 많이 있을 수 있다. 그런데 학교에서 수업을 할 때 어려운 문제의 풀이를 보여주면 학생들이 “와!“ 하고 소리를 낼때가 있다. 감탄이다. 신기함을 느꼈거나, 문제가 풀렸을 때의 쾌감을 느낀 소리다. 보조선 하나로 증명이 완성되고, 생각을 조금 바꿔보면 문제 해결의 실마리가 잡힌다. 이것이 바로 수학이 우리에게 주는 즐거움이다. ‘다르게 생각하기’는 21세기를 살아가는 제자들에게 많이 필요한 사고방식일 것이다. 다르게 생각하는 것은 그렇게 어려운 것이 아니다. 틀에 박힌 생각이 아니라 조금만 바꿔보면 된다. ‘아’를 ‘어’라고 생각해보고 무의식 중에 받아들였던 것에 ‘왜?’라는 질문을 해보면 사고는 금방 전환된다. 문제를 풀다보면 안풀릴 때가 있는데, 정답으로 가는 방법이 아닐 것 같더라도 엉뚱한 다른 방법을 한번 떠올려보자. 그러면 실마리가 보인다. 다르게 생각하는 습관을 길러 수학의 즐거움도 맛보고, 자신의 삶을 설계할 때 좀 더 자기답게, 즉 남과 다르게 해보는 것은 어떨까?

 이 책의 내용은 중학생이 배우는 전반적인 수학 내용에 옷을 입혔다. 수와연산, 문자와 식, 함수, 확률과 통계, 도형을 다뤘다. 수학에도 스토리가 있다. 뿌리가 있고, 씨앗이 있으며, 줄기가 있고, 열매가 있다. 수학의 역사, 발견하게 된 계기, 수학자들 간의 이야기, 그리고 아름다움 수학 공식 또는 개념들이 연결되어 있다. 수학의 숲을 볼 수 있도록 구성했다. 수학을 왜 배우는지, 수학이 무엇인지, 어떻게 공부하면 재미 있는지에 대해서도 이야기했다. 또 무엇보다 교과서나 수업시간에는 배우지 않는 수학의 뒷 얘기를 했다.

 책을 쓰면서 나도 많이 배웠다. 몇 천년 전에 발견한 내용을 21세기 수학 시간에 가르치고 있다는 것이 경이롭게 느껴졌다. 수학 공부가 더 어려워지고, 내용이 많아지는 고등학교에 들어가기 전에 이 책 한 권을 읽고 수학에 대해 긍정적으로 생각할 수 있기를 바란다.

이 책이 완성되기까지 많은 도움을 줬던 숙명여자중학교 학생들에게 감사함을 표한다. 무엇보다 촌철살인으로 내게 큰 깨달음을 줬던 사랑하는 제자들에게 고마운 마음을 전한다. 이 책을 끝까지 쓸 수 있었던 것은 바로 그들 덕분이다.

2) 대표 꼭지글

쌍둥이는 합동일까? 닮음일까?

 중학교 2학년 학생들은 2학기 중 70퍼센트 이상 도형에 대해 배운다. 정의, 정리, 증명에 대해 배우기 시작하면서 삼각형이 가지고 있는 성질들을 증명하고, 여러 가지 사각형도 배우면서 각각의 성질과 조건들을 증명한다. 그리고 마지막으로 도형의 닮음을 배운다. 도형의 닮음을 배우는 시간이면 난 늘 학생들에게 누굴 닮았냐고 물어본다.

“혜리는 누구 닮았어?”

“아빠요.”

“재현이는 누구 닮았어?”

“음…… 엄마 반, 아빠 반?”

“그럼, 정수는?”

“전 할머니 닮았다는데요?”

 질문을 하고 많은 학생들의 답을 듣다보면 별별 이야기가 다 나온다. 얼굴 윗부분은 엄마고, 아랫부분은 아빠라는 학생들도 있고, 누구도 안 닮았다고 하는 아이들도 있고, 닮고 싶지 않다고 닮음을 거부하는 학생들도 있다. 이야기가 어느 정도 정리되면 나는 다음 질문을 한다.

“그럼 도형이 닮았다는 건 뭘까?”

 정답을 아는 친구들이 많다. 선행학습의 결과다. 하지만 모르는 친구들도 많다. 도대체 도형이 닮았다는 게 무엇인지, 내가 엄마, 아빠를 닮은 것과 무슨 관계가 있는지 궁금해 하는 친구들이 있다. 다행이다. 나는 그림을 그리기 시작 한다.

“자 봐봐!”

 휴대폰 속 사진을 연상시키는 간단한 그림이다. 네모난 프레임에 여학생 하나를 그린다. 그리고 사각형 가로와 세로에 화살표를 그린다. 우리가 휴대폰으로 사진을 찍고 편집을 하려는 상태를 보여주는 것이다.

“애들아, 너희들 휴대폰으로 사진 많이 찍지? 그리고 너희들 홈페이지에 얼굴 올리잖아. 거짓말처럼 예쁜 사진들? 그치? 근데 그때 사진을 올리려는데 홈페이지 프로필 사진의 프레임에 잘 맞지 않는 경우가 있어. 즉 사진을 잘라야 할 때가 생기지. 잘못하면 얼굴이 반쯤 짤려서 올라가잖아. 그럼 우리는 어떻게 하지? 사진을 편집하지. 그때 가로만 줄이게 되면 얼굴이 가로로 길게 늘어나면서 뚱뚱하게 찌그러지지? 또는 세로로 줄이면 얼굴이 홀쭉해지면서 스크림 얼굴되잖아.”

아이들이 웃는다. 아마 내 표정이 우스꽝스러워서 일거다. 집중하게 하려면 표정이 다양해야 한다. 웃음이 좀 그치면 나는 다시 설명한다. 그렇게 얼굴이 이상하게 찌그러지지 않고, 다만 사이즈만 조금 줄이려면 우리는 가로와 세로에 있는 화살표가 아니라 한 꼭지점에 숨어 있는 화살표를 찾아 대각선 방향으로 일정하게 사진을 줄여야 한다고 말이다. 그럼 아이들이 고개를 끄덕인다.

이렇게 사진을 줄이거나 늘리는 것처럼 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 것이 다른 도형과 합동이 될 때, 이 두 도형은 서로 닮은인 관계에 있다고 한다.

“엄마나 아빠랑 내가 닮는 것이랑 도형이 닮았다는 것이 같은 말일까?”

 아이들은 일제히 아니라고 이야기 한다. 맞다. 도형끼리 닮았다고 이야기 하는 것과 인간과 인간이 닮았다고 하는 것은 다른 이야기다. 수학에서 이야기 하는 ‘닮음’의 뜻이 따로 있다. 일상어와 착각하기 쉬운 수학 용어 때문에 오류를 범하는 경우가 많다. 새로운 개념을 배울 때는 반드시 그 개념의 정의, 즉 뜻을 잘 새기는 것이 중요하다. 그래야 수학의 기초가 잘 다져진다. 부실공사 하지말고, 튼튼하게 집을 짓자. 그때 수진이가 질문을 한다.

 “선생님 쌍둥이는 합동이에요, 닮음이에요?”

 아이들이 서로 대답한다. 몇몇은 합동이라고, 몇몇은 닮음이란다. 쌍둥이인 은진이는 아무것도 아니란다. 유진이는 유진이고 나는 나라면서 이란성이라고 주장한다.

 “합동인거 같은데?”

 내가 의견을 표현하니 아이들이 웃는다. 은진이는 골이 났다. 내가 왜 걔랑 합동이냐면서 말이다. 아이들을 진정시키고 다시 이야기한다. 쌍둥이가 서로 많이 닮았을 때 합동이라고 이야기 하는 것은 기막힌 표현방법이라고 말이다.

 수업은 계속 된다. 다시 질문한다.

“도형의 닮음을 제일 먼저 발견한 사람이 누구일까요?”

 책에 보면 유클리드와 르장드르가 나와 있다. 아이들이 유클리드요, 르장드르요, 한다. 내가 아니라는 눈짓을 보내면 아리스토텔레스, 아르키메데스, 데카르트 난리다. 자기가 아는 수학자는 다 나오는 것 같다. 어디선가 조용히 한 친구가 말한다.

“탈레스?”

“오! 누구야?”

“저요, 저요!”

“오, 지원이가 맞혔구나. 맞아. 탈레스가 제일 먼저 발견한 사람이야. 탈레스는 소크라테스보다 이전 사람이거든! 너희들이 이야기 한 다른 수학자 또는 철학자들은 다 탈레스보다 나중 사람이지.” 하면서 나는 탈레스 이야기를 약간 패러디해서 들려준다.

 탈레스가 친구와 함께 이집트를 여행하던 중이었다. 열아홉살 이집트 소년은 그들을 피라미드 앞으로 안내했다. 그리고 피라미드가 자신의 나라 이집트의 수학과 과학이 얼마나 대단한지 아주 잘 보여주는 건축물이라고 자랑했다. 탈레스와 친구는 피라미드의 웅장함 앞에서 입이 떡 벌어졌다. 특히 소년이 설명해 준 쿠프 왕(B.C. 2580년경)의 피라미드는 눈앞에 보이는 3개의 피라미드 중 가장 큰 피라미드였다. 그 순간 탈레스는 궁금증이 생겼다. 소년에게 물었다.

“근데, 저 쿠프 왕의 피라미드의 높이는 얼마인고?”

 열아홉살 소년은 눈이 휘둥그레졌다. 이제까지 그런 걸 물어보는 사람은 한명도 없었기 때문이다.

“그게……, 저……”

 당황한 소년은 우물쭈물 하다가 어른에게 여쭤보고 오겠다고 하면서, 아마도 아는 사람이 없을거라고 뛰어갔다. 탈레스는 소년에게 답을 얻을 수 없겠다고 생각하고 쿠프 왕의 피라미드 높이를 잴 방법을 궁리했다. 시간이 얼마나 지났을까, 탈레스는 쿠프 왕의 피라미드 높이를 알아냈다. 딱 세가지 요소를 가지고 말이다. 태양이 높이 솟은 그 시각 탈레스는 자신의 그림자를 보고 의미심장한 미소를 지을 수 있었다. 자신의 키와 자신의 그림자 길이 그리고 쿠프 왕 피라미드의 그림자 길이를 그는 세 요소로 가지고 왔다. 그리고 비례를 생각했다.

“내 키대 내 그림자 길이는 피라미드 높이 대 피라미드 그림자 길이지. 이때 모르는 것은 피라미드 높이 하나이니 우린 비례를 이용해 피라미드의 높이를 구할 수 있다네.”

 소년이 뛰어왔다. 소년은 어떤 답도 가지고 오지 못했다. 그리고 탈레스의 설명을 듣고 쿠프 왕 피라미드의 높이를 알았다. 아마 모르긴 몰라도 그 소년은 탈레스와 친구가 돌아간 뒤 오는 여행객들에게는 자랑삼아 높이도 알려줬을 것이다.

(탈레스의 키) : (탈레스의 그림자 길이) = (피라미드 높이) : (피라미드의 그림자의 길이)

 탈레스가 발견한 닮음 도형의 성질이다. 삼각형의 닮음을 이용하여 이집트의 피라미드 높이를 구한 것이다. 우린 그것을 일목요연하게 정리해 21세기 수학 시간이 학생들에게 가르치고 있다. 학생들에게 이것을 다시 한 번 이야기 해준다. 우리가 배우는 수학은 아주 옛날에 발견한 것들이다. 그들의 지혜로 우리는 건물을 설계할 수 있다. 아주 정밀하게 설계하고 원하는 건물을 지을 수 있다. 지금 우리가 앉아 있는 이 곳도 처음에는 설계도면을 통해 그림이 그려졌을 것이다. 그리고 그것이 이렇게 실물로 나타나 우리가 사용할 수 있게 된 것이다. 도형의 닮음이 사용된 예 중 우리 실생활을 윤택하게 해주는 것이 바로 지도다. 요즘 스마트 폰을 많이 사용하고 있어서 길찾기가 손쉬워졌는데, 우리가 보는 지도들도 다 도형의 닮음을 이용했다. 실제거리는 일정한 비율로 줄여 우리 손 안에 들어오게 한 것이다. 우리는 그 작은 지도를 보고 내가 가야할 장소를 찾아갈 수 있다. 특히 건축학과에 가고 싶은 친구들은 비례식, 도형의 닮음에 대한 감각이 탁월할수록 유리할 것이라는 이야기도 덧붙인다. 아! 러시아 인형, 마트로시카도 닮음을 이용한 것이다.

 어떤 도형을 확대하거나 축소했을 때 똑같아지면 즉, 합동이 되면 우리는 두 도형이 서로 닮았다고 한다. 그리고 닮은 두 도형의 대응하는 변끼리 길이의 비를 잘 따져보면 하나의 비율이 나온다. 그것을 닮음비라고 한다. 이 세상에서 늘 닮은 도형들이 몇 개 있는데 한 번 생각해보자. 어떤 도형이 늘 닮았을까? 정씨와, 원이다. 정씨는 뭐냐면 정삼각형, 정오각형, 정육각형 …… ‘정’이라는 단어가 붙은 즉 모든 변의 길이가 같은 도형들은 다 닮았다. 같은 비율로 늘어나고 줄어들기 때문이다. 그리고 원도 늘 닮았다. 원은 원의 중심으로부터 반지름만 늘어나기 때문이다. 늘 같은 애들이 있고, 따져보고 재봐야 같은 애들이 있다. 부채꼴은 조건을 걸면 늘 닮아진다. 바로 중심각의 크기가 같을 때 부채꼴들은 다 닮았다.

 오늘 만큼은 주변 사물들을 볼 때 닮음의 관점으로 보는 것은 어떨까? 닮은 도형의 특징들을 저절로 파악할 수 있게 될 것 같다. 또 일상생활에서 이야기 하는 닮음에 대해서도 생각해 보며 엄마, 아빠 얼굴 한 번 더 보고 서로 어디가 닮았는지 이야기 해보자. 이야깃거리가 풍성해 질 것 같다. 다음 시간에는 삼각형의 닮음 조건에 대해 알아보고, 고수 단계에 들어가보자! 닮음 보다 더 어려운 도형을 배우게 될텐데 도대체 뭐가 있는지 함께 조사하자. 조사하면 다 나오는 법이니까!

<참고 : 탈레스 이야기에 등장하는 쿠프 왕 피라미드는 실제로 가장 큰 피라미드이긴 하지만 탈레스가 그 피라미드의 높이를 쟀다는 사실은 밝혀지지 않았습니다. 이야기를 재구성했음을 알려드립니다.>

퀴즈 정답은? 직각 이등변 삼각형! (평면도형) / 구 (입체도형), 입체도형에서도 정씨! 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 등